Question

あ

(2)(3)を教えてください。
(2)はなぜx>0ならx→+0で0<x<1とできるのでしょうか？

✓ 360 平均値の定理を用いて, 次の極限を求めよ。
*(1) lim
e-esinx
x-+0 x sinx
(2) lim
x→0
sinx−sinx
x-x²
#C
*(3) lim x {log (x+2)-logx}
X18

-1
(2) 関数 f(t) sint はすべての実数で微分可能
で
=
f'(t)=cost
[1] x<0のとき
xx2であるから,区間[x, x2] において,
平均値の定理を用いると
188
sin x2 - sinx
p-q)
=cos₁, x<0₁< x²
x2-x
を満たす実数 01 が存在する。
limx=0, limx2=0であるから Jed
011x
改分可
よって lim
011x
011x
lim01=0
x-0
sin x2 - sinx
x2-x
= lim cos01=1
011x
<a
[2] x>0のとき
x→ +0であるから, 0<x<1としてよい。
このとき, xxであるから, 区間 [x2, x] に

106
-サクシード数学III
問題・吾問
おいて,平均値の定理を用いると
sinx-sinx2
x-x2 = cos 02, x²<0₂<x
を満たす実数 02 が存在する。
limx2=0, limx=0であるから
x+0
x+0
lim02=0
x+0
よって
lim
sin x - sin x²
=
lim cos2=1
+0
x-x2
x+0
以上から lim
=1
x0
x-x2
sinx-sin x2
(3) 関数f(t)=logtはt>0で微分可能で
S'(土)=1/
区間[x, x+2] において,平均値の定理を用いる
と
log(x+2)-10gx
1
=
(x+2)-x
x<c<x+2
を満たす実数 c が存在する。
(2
等式から
x{log(x+2)-10g x} =
2x
C
また, 0<x<c<x+2から
2x
2x
x+2
<< 2 =2
C X
2x
2
lim
=
lim
110x+2
=2であるから
2
よって
→∞
1+
-
X
2x
lim =2
x700 C
limx{10g(x+2)-logx} = 2
C

数学ⅲ 平均値の定理 極限