問題の条件から
a=9K+1 (Kは整数)
b=9L+5 (Lは整数)
とおくと
(1)
a+b
=9K+1+9L+5
=9(K+L)+6 ←割る数9でくくります
KとLはどちらも整数と定義したので
K+Lも当然整数です
よって9(K+L)は9の倍数になるので
この部分は9で割り切れます
したがって余りは飛び出している+6の部分になります
(2)
5a-3b
=5(9K+1)-3(9L+5)
=45K+5-27L-15
=9(5K-3L)-10 ←割る数9でくくります
=9(5K-3L-1)-1 ←-10から9の倍数を抽出します
=9(5K-3L-2)+8 ←上の式だと余りが-になってしまっているので()の中の-1の絶対値をひとつ増やして-2にしてあげます
そうすると()の文字のついていない項の値は
9×(-2)=-18
この数値はもともと()から飛び出していた-10よりも8少ない値なので()の外に+8を加えて式全体のつじつまを合わせます
ここが少し面倒ですが一種のテクニックだと思って理解してください
とにかく()から飛び出した数が0より大きく、かつ割る数（今回は9）より小さい値になるように(割る数より大きいとまだ割れることになるので）してください
残りの作業は(1)と同様です
5K-3L-2は整数なので、9(5K-3L-2)は9の倍数、したがってこの部分は9で割り切れるので、余りは()から飛び出した+8の部分になります
(3)
ab
=(9K+1)(9L+5)
=81KL+9L+45K+5
=9(9KL+L+5K)+5
(9KL+L+5K)は整数なので9(9KL+L+5)は9の倍数、したがって9で割り切れるから余りは()から飛び出した+5
(4)
2a^+b^
=2(9K+1)^+(9L+5)^
=2(81K^+18K+1)+(81L^+90L+25)
=162K^+36K+2+81L^+90L+25
=9(18K^+4K+9L^+10L+3)
(18K^+4K+9L^+10L+3)は整数なので、式全体が9の倍数→9で割り切れる
よって余りは0になります
ありがとうございます！