(1)対偶「nが3の倍数でないならば、n²は3の倍数でない」を証明します
nが3の倍数でないとき、n=3m±1と書けます(mは整数)
このときn²=(3m±1)²=9m²±6m+1=3(3m²±2m)+1なので、n²は3の倍数ではないです。
(2)√3が有理数だと仮定すると√3=q/p(p,qは互いに素な整数、p>0)と書けます。
変形して3p²= q²
p²とq²は互いに素なので、q²は3の倍数です。よって(1)よりqも3の倍数ですので、q=3k(kは整数)と書けます。
代入して3p²=9k² ∴p²=3k²
よってp²は3の倍数なので、(1)よりpは3の倍数です。ところがこれはpとqが互いに素なことに矛盾します。よって√3は有理数でない、つまり無理数です。
