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素直に4乗してもいいんじゃないですかね
z=a+i
より
z⁴={(a+i)²}²
=(a²+2ai-1)²
={(a²-1)+2ai}²
=(a²-1)²+2(a²-1)•2ai-4a²
={(a²-1)²-4a²}+4a(a²-1)i
あとは、z⁴が実数であることからz⁴の虚部が0となります。これよりaが求まります
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ありがとうございます😊