二倍角の定理
sin2x=cos²x-sin²x=1-2sin²x
⇔ sin²x=(1-sin2x)/2
を2回使います
∫ sin⁴xdx
=∫(1-sin2x)²/4dx
=1/4･∫(1-sin2x)²dx
=1/4･∫(1-2sin2x+sin²2x)dx
=1/4･∫(1-2sin2x)dx +1/4･∫sin²2xdx
=1/4･(x-4cos2x) +1/4･∫(1-sin4x)/2dx
=1/4･(x-4cos2x) +1/8･(x-4cos4x)+C
=x/2-cos2x-1/2･cos4x+C
これでどうでしょうか？
