✨ Best Answer ✨
2次方程式の解がα, β⇔a(x-α)(x-β)=0[aは0ではない複素数]⇔ax^2-a(α+β)x+aαβ=0[aは複素数]
これが解と係数の関係で, 複素数範囲でも使えるのが強みです.
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α, βが2次方程式x^+2x+3=0の解なので, 解と係数の関係からα+β=-2, αβ=3が成り立つ. またα^2+β^=(α+β)^2-4αβ=-8
またα^2+2α+3=0, β^2+2β+3=0も成立するので4α^2+5α+6=4(α^2+2α+3)-3α-6=-3(α+2), 4β^2+5β+6=-3(β+2)と簡略化できる.
γ=(4α^2+5α+6)/(4β^2+5β+6)=(α+2)/(β+2), δ=(4β^2+5β+6)/(4α^2+5α+6)=(β+2)/(α+2)とすると
γ+δ={(α+2)/(β+2)}+{(β+2)/(α+2)}={(α+2)^2+(β+2)^2}/{(α+2)(β+2)}
={(α^2+β^2)+4(α+β)+8}/{αβ+2(α+β)+4}
={(-8)+4*(-2)+8}/{3+2*(-2)+4}
=-8/3
また
γδ={(4α^2+5α+6)/(4β^2+5β+6)}*{(4β^2+5β+6)/(4α^2+5α+6)}=1
と求まる.
したがってγ, δを解とする2次方程式は解と係数の関係からaを適当な0ではない複素数としてax^2-a(-8/3)+a=0と書ける.
たとえばa=3を選ぶと3x^2+8x+3=0ともっとも簡単な整数係数で条件を満たすものである.
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簡単化する部分をうまくやれないと計算が泥沼化します. 少し厳しそうだなと思ったら工夫がないか探す努力もしましょう.
