Question

わかめ

3番と4番を教えてください、

例24 半径1 のにP楼する正贅角形ABCDEの 1 辺の長さを とし,  =を< とする。
⑪) 等式sin3の ENSTiy/詞   ニ0 が成り立つこと

Answer 1

✨ Best Answer ✨

LUX SIT

問題の流れが分からないのですべて解きました.
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(1)
5θ=2πなのでsin(3θ)+sin(2θ)=sin(3θ)+sin(2π-3θ)=sin(3θ)+sin(-3θ)=sin(3θ)-sin(3θ)=0
(2)
(1)と倍角公式より3sinθ-4sin^3(θ)+2sinθcosθ=0
⇔sinθ{3-4(1-cos^2(θ))+2cosθ}=0
ここでθ=2π/5なのでsinθ≠0. 両辺をsinθで割ることにより
4cos^(θ)+2cosθ-1=0
⇔cos(θ)=(±√5-1)/4
0<θ=2π/5<π/2の範囲にあるので
cos(θ)=(√5-1)/4
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(3)
正五角形ABCDEに外接する半径1の円の中心をOとする.
三角形OABは1辺の長さ1の二等辺三角形で, 夾角が2π/5=θ[中心Oと正五角形の頂点を結べば,中心角2πを5等分したものと分かる.]である.
余弦定理から
a^2=(1^2)+(1^2)-2*1*1*cosθ=2(1-cosθ)=(5-√5)/2⇔a=√{(5-√5)/2}
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(4)
倍角公式からcos(2θ)=2cos^2(θ)-1=2*{(√5-1)/4}^2-1=-(1+√5)/4である.
三角形OACは1辺の長さ1の二等辺三角形で, 夾角が4π/5=2θ[上のものが2つ分]なので, 余弦定理から
AC^2=(1^2)+(1^2)-2*1*1*cos(2θ)=2(1-cos(2θ))=(5+√5)/2⇔AC=√{(5+√5)/2}.
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半径1の円の条件をどう使うのか考える必要がありました.
対称性に注意すれば, 補助線として中心Oとすべての頂点を結ぶのは自然でしょう.

わかめ

ありがとうございます！