Question

Apple

この問題の解法が分かりません(>_<;)
私は下のようにk^2と置いたのですが、間違ってますか？

較

0 0, 2*+ッニ1 のよき, 2エア5 の最大値と最小値を求めよ。

還  ビ (ke 下赦) <

Answer 1

✨ Best Answer ✨

なまたま

この場合はそれだとちょっと厳しいですね。
2x+y=1 より y=1-2x を2x²+y²に代入するとxのみの式になります。それを二次関数として扱えば最大最小が求められますね💪

Apple

回答ありがとうございます！！
なるほどです( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )✨
解決しました💓

Answer 2

LUX SIT

x≧0, y≧0, 2x+y=1は線分, 2x^2+y^2=k^2は楕円を表します.
このように置いた場合は
*x=(k/√2)cosθ, y=ksinθと極座標変換して代数的に解く.
*2x^2+y^2=k^2をX^2+Y^2=r^2[rとkの関係は?]と円に変換して, 図形的, すなわち原点から線分の距離と半径の長さの比較で解く.
といったアプローチが考えられます.
***
ただこの問題の場合は
x≧0, y≧0, 2x+y=1⇔y=-2x+1 (0≦x≦1/2)
と同値変形して
2x^2+y^2=2x^2+(-2x+1)^2=6x^2-4x+1 (0≦x≦1/2)
のように代入して, 2次関数の最大・最小問題に帰着させるほうが楽でしょう.
6(x-1/3)^2-6*(1/3)^2+1=6(x-1/3)^2+(1/3) (0≦x≦1/2)
は下に凸な2次関数なので
最小値はx=1/3のとき, 1/3.
最大値は端点の比較となって, x=0のとき1, x=1/2のとき1/2だからx=0のとき1.
***
問題を解いて見通しが悪いと思った場合は視点を変えてみることが大事です.
***
x=(k/√2)sinθ, y=kcosθと変数変換すると
x≧0, y≧0なのでsin≧0かつcos≧0[図形的な意味を考えるとk>0で十分です]⇔0≦θ≦π/2
2x+y=√2ksinθ+kcosθ=k{(√2sinθ+cosθ}なので
k=1/(√2sinθ+cosθ) (0≦θ≦π/2)の最大・最小値を考えればよい.
分母の関数を合成すると
k=1/(√3sin(θ+α)) (0≦θ≦π/2), sinα=1/√3, cosα=√(2/3)
ここで1/2<1/√3<1/√２なのでπ/6<α<π/4である.
θ+α=π/2のとき, kは最小値1/(1/√3)=√3を与える. すなわち2x^2+y^2の最小値は1/3.
また正弦関数の単調性と対称性からθ=0のとき,　最大値1/(√2sin(0)+cos(0))=1を与える. すなわち2x^2+y^2の最大値は1
***
最後の場合は
X=x/√2, y=Yと変数変換すると,
X≧0, Y≧0, √2X+Y=1の下でX^2+Y^2が最小・最大値をとる範囲を求めればよい.
原点を通り√2X+Y=1に垂直な直線はX-√2Y=0で交点はX=1/3, Y=√2/3でX≧0, Y≧0を満たす.
この交点が原点にもっとも近いので2x^2+y^2の最小値を与える. その値はX^2+Y^2=(1/3)^2+(√2/3)^2=1/3.
また最大値を与えるのはX切片かY切片の位置で
X=0, Y=1のときX^2+Y^2=1, X=1/√2, Y=0のとき, X^2+Y^2=1/2
から最大値は1.

LUX SIT

[補遺] 解法の選択でどれが一番よかったのか?
1番目:
最初のものは機械的かつ間違いなく解けます. 汎用性も高いです.
入試のように極度に緊張した場合, 冷静さを取り戻すためにこの解法を選択するのはあり得ます.
2番目:
図形的に捉えられるメリットはありますが, αが不確かな値なので試験場だと不安になるでしょう.
計算もまどろっこしいもので出来れば避けたい, と考えるのが普通でしょう.
3番目:
軸の伸縮だけなので難しい変換ではありません[より複雑なのは1次変換(二次形式)の知識が必要になります].
よくある線形計画の問題に落とし込めているので間違える可能性も少ないです.
図形的な考察で計算も1番目より楽になっていますし, 最大・最小を与える位置も明確です.
この3つの中ではベストな解法といえると思います.

Apple

回答ありがとうございます！！
解決しました✨