✨ Best Answer ✨
基本的な考え方は理解できていると思います.
答案の書き方で改善したほうがいい点がいくつかあります.
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2x^3-6x+5=0の実数解の個数は3次関数y=2x^3-6x+5とx軸(y=0)との交点の個数とみなせる.
[実数解とグラフとの関連を明確化させましょう.]
f(x)=2x^3-6x+5の増減を調べるとf'(x)=6x^2-6=6(x-1)(x+1)なのでx=±1で極値をもつ.
ここでx<-1でf'(x)>0なので単調増加, -1<x<1でf'(x)<0なので単調減少, 1<xでf'(x)>0なので単調増加する.
また
lim[x->-∞]f(x)=lim[x->-∞]2x^3{1-(6/x^2)+(5/x^3)}=-∞[負に発散]
lim[x->+∞]f(x)=lim[x->+∞]2x^3{1-(6/x^2)+(5/x^3)}=+∞[正に発散]
[中にはある値に落ち着く関数[数学III]もあるので無限大に発散することを指摘する必要があります.]
以上よりf(x)はx=-1で極大値f(-1)=9, x=1で極小値f(0)=1をとることが分かった.
[高校レベルではここまでの面倒くさい説明は増減表でまとめれば十分でしょう.]
区間(-∞,1)ではf(x)は連続な単調増加関数なので, 中間値の定理よりf(x)はx軸と交点を一つ持つ.
[もしlim[x->-∞]f(x)>0ならばx軸との交点は0個になってします.理系なら厳しくチェックされるところです.]
また他の区間では常にf(x)≧1なのでx軸と交点を持たない.
したがって方程式2x^3-6x+5=0の実数解の個数は1個である.
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*方程式の解とグラフの間にどういう関係があるか?
*どういう動機で関数の増減を調べたか?
*無限大での収束もしっかり考える.
といった点に注意して, もう一度解答をブラッシュアップしてみましょう.
