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模範解答は分かりませんが, 図形的に解くのが王道だと思います.
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点A, Bを結ぶ直線は媒介変数tを用いて2i+t{(2+3i)-(2i)}=2i+t(2+i)と表せる.
点Pはこの直線上にあるから4+pi=2t+(t+2)i⇔2(t-2)+(t+2-p)i=0
上式は恒等的に0なのでt=2, p=t+2=4と定まる.
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点Aと点Pを直径する円は|z-{2i+(4+4i)}/2|=|2i-(4+4i)|/2⇔|z-(2+3i)|=√5.
点Qはこの円周上に存在するので|(q+qi)-(2+3i)|=√5⇔|(q-2)+(q-3)|=√5.
(q-2)^2+(q-3)^2=5⇔(q^2-4q+4)+(q^2-6q+9)=5⇔2q^2-10q+8=0⇔2(q-1)(q-4)=0⇔q=1,4
ここでq=4は点Pなので除外される. したがってq=1.
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複素平面の問題ですが, 直交座標と同一視しても問題ありません.
ベクトルを利用して解くならば直交条件から
QA・QP=0⇔(-q,2-q)・(4-q,4-q)=0⇔q(q-4)+(q-4)(q-2)=0⇔(q-4)(q-1)=0⇔q=1,4
あとは上と同じです.
なるほど！円を使うのはいいですね！
もう1回やってみます。
直線の式を求めてもできるんですね！
この問題は色々な解き方が出来ましたね.
Rinno77さんへの質問で, 複素平面なのでベクトル(直交座標)を使うのに抵抗がある, とありますが, これは
「この問題では実軸を直交座標のx軸, 虚軸を直交座標のy軸と同一視(しても一般性は失われない)することが出来る.」
もしくは
「一般の複素数x+yiに対して, X=Re(x+yi), Y=Im(x+yi)となるような直交座標を設定する.」
と但し書きすればいいでしょう. [補遺]にある直線の式を使った方法もこの考え方を利用しています.
なるほど！そうします！ありがとうございました🙇♀️
[補遺]
P(4+4i), Q(q+qi)がy=x上にあることに気付けば, 直線AQはy=-x+2で表せることが分かります.
y=xとの交点がQなのでx=-x+2⇔x=1でq=1であることが即座に求まります
[傾きに着目すればAQの式すら持ち出す必要もありません(^-^;].