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元のふたつの方程式を同時に満たす直線です
状況が分からないので詳しいことは言えません。
よろしければ問題などを見せていただけると幸いです
そうですよね、すいません。
関数と逆関数のグラフの共有点についての問題です。
y=～の式に逆関数をなおすと計算が複雑になるからx=～の式のまま連立方程式を計算するのは理解したのですが、そこから得られたy=xが何を表しているのかわからず質問しました。その先の範囲を求める所は理解できるのですが、なぜy=xと元の関数の共有点が逆関数と元の関数の共有点の代わりに用いられるかがわからなくて。
一般的に連立すると元のふたつの式を同時に満たす交点が得られます。
1次式同士の連立の場合、得られるものは交点です。
2次式以上の場合、得られるものは式になります。なぜなら2次式以上(円などの陰関数も含む)は2度以上ぶつかる場合があるためです。
今回は二次関数同士なのですが、連立する関数はパラメータkを含んでいるためkを動かせば衝突する回数が変化するというわけです。
よって連立して出てきた式について、その解が2個あれば2回衝突 1個であれば1回衝突(重解)、解が無ければ衝突しないと言えるわけです。解の個数は判別式を使って求めることができますが、パラメータkがある場合は逆に自分で判別式の範囲を決めれば2回か1回か0回か、何回ぶつけるか決められるわけです。
さて、ここまでが連立方程式についての話でしたが、今回はなぜy=xとなるかについてですのでそこを解説します。
連立した方程式の解がx=yとなるのは、解説通りです。
そもそも逆関数とはなんでしょうか？
y=3xの逆関数を求める場合 まずxについて解き、xとyを入れ替えるんですよね。
x=y/3 y=x/3
ここでした操作とは xをyに入れ替えた(逆でもよい)ということです。つまり逆関数と元の関数ではx=yが成り立っているはずです(その他にも関数を見比べてxとyが入れ替え可能な対称式的性質があることを考えればx=y)
また、このことをグラフで考えるとy=xという直線に対して対称になっているとも言えます。
ですから当然、関数とその逆関数の交点は(x,y)であるはずです。
また、逆関数と元の関数の性質について、
「関数 y = f(x) と直線 y = x の交点」ならば
「関数 y = f(x) とその逆関数の交点」である。
といえます。この逆は常には成り立ちません。
ｙ=ｆ(ｘ)とその逆関数の交点を（a,b）とおくと、
ｂ＝ｆ(a)（ －①）
a=ｆ(ｂ)（ －②）
となる
ⅰ a>bのとき
①、②より、
ｆ(ｂ)>ｆ(a)
しかし、a>ｂのとき、ｙ=ｆ(ｘ)は単調増加であることより
ｆ(a)>ｆ(b)
よって不適。
ⅱ a＜ｂのとき
ⅰ同様、不適。
ⅰ，ⅱよりa=ｂ
よって、ｙ=ｆ(ｘ)とその逆関数の交点は、ｙ＝ｘ上にある。
すなわち、ｙ=ｆ(ｘ)とその逆関数の交点は、ｙ=ｆ(ｘ)とｙ＝ｘの交点である。
丁寧でわかりやすいグラフと解説ありがとうございます。
この連立方程式の計算で、求めたい共有点がy=x上に有ることを証明しているんですね。３枚目のグラフでxやyの定義域とkの値によってはx+y-1=0上にも共有点があることがわかりました。
関数と逆関数の共有点やより高次の共有点の問題では連立方程式でこの様に共有点が存在する曲線(直線)の式を求める操作は役に立ちそうですね。
回答ありがとうございました。
回答ありがとうございます！
元のふたつの方程式を同時に満たす直線ということは、グラフにおいて考えると、その直線は2曲線の交点を繋いだ直線と言えますか？