まず,f(x)を平方完成して、頂点（これがf(x)の最大値）の座標を求めます
そして、グラフを書くとわかりやすいですが
a≦x≦a+1 の範囲を、aを動かして想像します
具体的には、 x=a と x=a+1で囲まれたf(x)… って感じです
その中で、最大値を考えればいいです
でも、a≦x≦a+1の中に, 頂点のx座標である3を含む つまり a≦3≦a+1 となるときには
a≦x≦a+1の最大値は、f(x)の頂点のy座標 5となります
頂点のx座標を含まない、
a+1<3 となるときには a≦x≦a+1でf(x)は単調に増加しているので最大値は f(a+1)となります
3<a となるときには a≦x≦a+1でf(x)は単調に減少しているので最大値はf(a)となります
間違えました、赤い線は a+1<3 のとき です。
こんな感じですかね…赤い線は3<a+1のとき
緑の線はa≦3≦a+1 を表したつもりです