ページ3:

〈共分散>(xyの共分散をSxyで表す)
boxとyの偏差の積の平均値
... +
(xn-x)(yn-π)
Sxy =
(x-x) (y-5)+
n
.. Sxy = I
n
✓ (xx-x) (y-5)
共分散の別公式... Sxg=Qxy)-x.y
[証明]
(Fil) = ± 17 (Xye - x Y x - x x Y + X.J)
xaya
ye
+
=(x-y)-x.g-+=(x-y)一文可=(右)
<相関係数>(xとyの相関係数をrxyと表す)
D
Sxy
Xxy = 5 x Sy
(XA-X) (Ye-)
n
(2-5)²
@ここまでやってきた公式の形を想像できるようにし
次に行きましょう。

ページ4:

<データの変換①>
y=ax+bでxyに変換するとき、
2
(1)y=ax+b (2) Sn=asy (3) Sy=lalse
が成り立つ
axath
[証明](1)(左辺)=g
=
=
=a+ax+bに(右辺)
(2)==
(2) S₁₂² = ^^ (1-5)² = " \(ax+b)-(ax+b)}²
n
= {a (xx-x)}²
2
=
=
n
R=1
(3) Sy = √ √5m² = √ a². Sx² = | a | √ Sx = | a | Sx
=lal

ページ5:

<データの変換②>
y=ax+b.wicz+dとしてそこに変換
前回の(1)~(3)より、=(z+d
このとき、
53=252 が成り立つ
Sm²=252
Sm=1c|SE
Sz
|(4) Syw = aC Sxz (5) Fyw = {-taz (ac<0)
[証明]
(4) Syw = Σ (YR -5) (W₁- π)
(5)
—
し
= (a (xx-x) (((2-7))
n
(rxz (aczo)
-rxz
が成り立つ
=ac (x-5) (2x-2) = acSxz
{(フューズ)(マューズ)
n
acsxz
(2754 ((3)(4)より)
Sya
V yw = Sy Sa = 1a15x-14|5z
Sum =
Sxz
Tacl rx
xz
=
作
rxz (acz0)
ac sa fact √xe -rxz (acco)
D
日ここまでの証明を何も見ずに証明できるようになれば
見慣れない問題でも対応できるでしょう。
次ページに自作問題がありますので
チャレンジしてみて下さい

ページ6:

<練習問題>
ある5人の数学と英語の点数は以下の通り
(たて列は同じ人)
数学は50点満点
数学 40 32384535
英語は100点満点
英語 75 70608481
[1]数学と英語のテストの点数の分散をそれぞれ求めよ
[2] 数学の点数をx(点)、英語の点数をy(点)とする。
そして、変量Zを以下のように定める。
Z=2x+y(x.yは同じ人の点数)
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)Zの平均値を求めよ.
但し、Sxy=15であることを
(2)yとその共分散Sgzを求めよ、用いて良い
ここで変量を以下のように定める
w=1/2z
(3)yときの相関係数をryz.yとwの相関係数をkymと
する.kyzを求めよ.
Tym
(解説は次ページ)

ページ7:

<解説>左から反番目の人の点数をxe,yeとする
[1] 数学の分散をS、英語の分散をSとする.
まずそれぞれの平均うと、gを求める。
文は40を仮平均として計算してみる。
X=40+0-8-2+5 =40+10=38
gは70を
"
g=70++50-10+14+11=70+2=74
98
==12+1+0+7+3=19.6(=
(x-x1)² = {( 2² + (-6)²+ 0² + 17²+33) = 19.66 ( = 25³)
=12・1・グリー72.4(362)
5
+
[2]今まで証明してきたようにやってみよう(まず人として一般化しても
(1)z=2x+yより、マー(2x+y=
g
(2) Syz = (4·2) - ÿ ⋅ Z
=(y-z)
=
5
=g(2x+g)-y(2x+y)
(1)より
= {2x² + 2(x-9)-(9)²
y²
5
・2(g)-(g)
• 2 ₤24½ + ½ -2(x5)-(9)
=2
5
-212-7) - 7.5}-((77)-(71)
=
=2Sxy+ Sy
+
=2.15+72.4 (◎条件よりSzy-15
[1]よりSy2=724)
m
良い)
=2・38+74=150
=102.4

ページ8:

(3)
(解説続き)
Vyz
łym
ここで
Sm
=
Syz
Sysz
Sym
Sy Sm
Su 1415 -1/
Sz
=
=
=
Sm Sye
Sz Sym
#1 Sym = (y.m) -y.w
=
=
Yr. Zk - 1 y. Z
Zk
./..
Ye Wa
(27). h
gz
2857 nhs 25 — = {2-1-12 -1}=-=
Sye=
Sym1/fge
Syz=
ryz
1/2=
以上より、無・・・」
2

ページ9:

この練習問題のようにいつもの公式の形から
外れていても』を使えばその場でカンタンに
成り立つかが分かります(例えば2付)
また今回紹介した別公式を
知らなかった人は是非使えるように
しておきましょう
汚い字でしたが最後まで見て頂き
ありがとうございました。