【Ⅲ型：数列〔確率漸化式〕】9月第3回全統記述高3模試

数列

2892

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

高校3年生

去年の
自学

2025.09.15 公開

高3 数学確率確率漸化式全統模試過去問赤城 math 数学A 過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

2024年度9月第3回全統記述高3模試 自学@Akagi
Ⅲ型
2 【Ⅲ型 必須問題】 (配点 40点)
片方の面が白色, もう片方の面が黒色の3枚のカードがあり,3枚とも
白色の面を上にして横一列にテーブルに置かれている. 次の操作を繰り返し
行う.
(操作)
箱の中に1が書かれた球, 2が書かれた球, 3が書かれた球の合計
3個の球が入っている。 この袋の中から無作為に1個の球を取り出し,
取り出した球に書かれた数k (k=1, 2, 3) に対して, 左からk番目のカー
ドだけを裏返し, 取り出した球は袋に戻す .
この操作をn回 (n=1, 2, 3, ...) 行ったとき, 左端のカードの上面が白
色である確率を P とする.
(1) Pi, P2 を求めよ.
(2) P.1 を pm を用いて表せ. また, p, を求めよ.
(3)n≧3 とする. n回目の操作後に左端のカードの上面が白色であった
とき,2回目の操作後に3枚とも上面が白色である条件付き確率 q を
求めよ.

ページ2:

自学@Akagi
確率漸化式(´・ω・`)
(1)左端のカードの上面が白色である確率を Pm
‣ p②または③を引く確率だから
P₁
==
3
▷ p2:1回目が終わった時点で左端が白色で,2回目に②または③を引く
2 2 4
-X-=-
33 9
1回目が終わった時点で左端が黒色で,2回目に①を引く
11 1
-×-=
3
これらは互いに排反だから
415
P₁ =-+
9
9

ページ3:

(2)Pn+1=Pnx=+
n回目が終わった時点で左端が黒かつ
n+1回目で①
Pn.
3
n回目が終わった時点で左端が白かつ
n+1回目で②か③
PP+
= PT +
:Pn+1
n
1
▷ 特殊解型の漸化式 Pn+1
-
n
1
+ (*)の一般項を求める。
3
○特性方程式 α = -α+-を解くと, 特殊解は α =
○よって(*)は
3
Pn+1
-
3
1 1
=
3
1
2
Pn
-
opn
--=
とおくと In+1
=-r.
n'
r₁ = P₁
よって数列{r}は初項・
'
1
1
=
2
2 3 2
公比ーの等比数列だから
-
-
3
n-1
=-x
11
==X
6
1
=
1
2
×
○元に戻して
Pn
2
すなわち
Pn
--
n
=
23
+
2
n

ページ4:

(3) n ≥ 3
⑦ n回目の操作後に左端のカードの上面が白色である確率は Pn
イ 2回目の操作後に3枚とも上面が白色なのは,
12
1回目と2回目に同じカードを裏返し,
111
1
x-+-x-+-X-=
33 33 3
左端 真ん中 右端
残りのn-2回の操作後に左端のカードの上面が白色 Pn-2
であればよいので
1pm2=3
Pn-2 ・pn-2
よって, 求める条件付き確率はイアより
n-2
1
1
+
1 23
2
gn==Pn-2÷pn ==X
132+3"
3"-1
+3
=-X
3
n
1+3"
3"+1
+
23
2
1