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2024年度9月第3回全統記述高3模試 自学@Akagi Ⅲ型 2 【Ⅲ型 必須問題】 (配点 40点) 片方の面が白色, もう片方の面が黒色の3枚のカードがあり,3枚とも 白色の面を上にして横一列にテーブルに置かれている. 次の操作を繰り返し 行う. (操作) 箱の中に1が書かれた球, 2が書かれた球, 3が書かれた球の合計 3個の球が入っている。 この袋の中から無作為に1個の球を取り出し, 取り出した球に書かれた数k (k=1, 2, 3) に対して, 左からk番目のカー ドだけを裏返し, 取り出した球は袋に戻す . この操作をn回 (n=1, 2, 3, ...) 行ったとき, 左端のカードの上面が白 色である確率を P とする. (1) Pi, P2 を求めよ. (2) P.1 を pm を用いて表せ. また, p, を求めよ. (3)n≧3 とする. n回目の操作後に左端のカードの上面が白色であった とき,2回目の操作後に3枚とも上面が白色である条件付き確率 q を 求めよ.
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自学@Akagi 確率漸化式(´・ω・`) (1)左端のカードの上面が白色である確率を Pm ‣ p②または③を引く確率だから P₁ == 3 ▷ p2:1回目が終わった時点で左端が白色で,2回目に②または③を引く 2 2 4 -X-=- 33 9 1回目が終わった時点で左端が黒色で,2回目に①を引く 11 1 -×-= 3 これらは互いに排反だから 415 P₁ =-+ 9 9
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(2)Pn+1=Pnx=+
n回目が終わった時点で左端が黒かつ
n+1回目で①
Pn.
3
n回目が終わった時点で左端が白かつ
n+1回目で②か③
PP+
= PT +
:Pn+1
n
1
▷ 特殊解型の漸化式 Pn+1
-
n
1
+ (*)の一般項を求める。
3
○特性方程式 α = -α+-を解くと, 特殊解は α =
○よって(*)は
3
Pn+1
-
3
1 1
=
3
1
2
Pn
-
opn
--=
とおくと In+1
=-r.
n'
r₁ = P₁
よって数列{r}は初項・
'
1
1
=
2
2 3 2
公比ーの等比数列だから
-
-
3
n-1
=-x
11
==X
6
1
=
1
2
×
○元に戻して
Pn
2
すなわち
Pn
--
n
=
23
+
2
n
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(3) n ≥ 3 ⑦ n回目の操作後に左端のカードの上面が白色である確率は Pn イ 2回目の操作後に3枚とも上面が白色なのは, 12 1回目と2回目に同じカードを裏返し, 111 1 x-+-x-+-X-= 33 33 3 左端 真ん中 右端 残りのn-2回の操作後に左端のカードの上面が白色 Pn-2 であればよいので 1pm2=3 Pn-2 ・pn-2 よって, 求める条件付き確率はイアより n-2 1 1 + 1 23 2 gn==Pn-2÷pn ==X 132+3" 3"-1 +3 =-X 3 n 1+3" 3"+1 + 23 2 1
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