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2024年度9月第3回全統記述高3模試 自学@Akagi Ⅱ型 3 【I型共通 必須問題】 (配点 50点) tを実数とする. 座標平面上に円 C:x2 + (t-8)x +y^ - 2ty + 12 = 0 があり,その中心をP,, 半径をr とする. (1) P,の座標を求めよ. また, tがすべての実数を動くとき, rの最小値を 求めよ. (2)tの値に関わらず, C, が通る点の座標をすべて求めよ. (3) tがt > 0 の範囲を動くとき, C, の通過する領域をDとおく. (i) Dを求め, 座標平面上に図示せよ. (ii) Cに内接する円のうち,その内部がすべてDに含まれる円を考える. そのような円のうち, 半径が最大の円をKとする. Kの中心の座標と 半径を求めよ.
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自学 @Akagi C:x2 + (t-8)x +y^ - 2ty + 12 = 0 t-8. (1)平方完成すると(x+1-8)2 +(-1) = (1282 +1-12 +(y-t)² 5 -)2 · · (x + 1 − ³)² + (y−1)² = ニュー -12 -4t+4 2 よってP,(=1+8, 1) t) 2 2 5 8 4 また, 半径は r= -12-4t+4= t-- + 14 8 よって,rはt=このとき最小値5をとる。 5 2-5 || S
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(2)C,上に点(X, Y)があるとすると x 2 + (t-8)x + Y2 − 2tY + 12 = 0 tについて整理すると (X-2Y) +(X2-8X + Y2 +12)= 0 これがtについての恒等式となればよいので | X-2Y = 0 | x2 - 8X + Y2 + 12 = 0 この連立方程式を解く。 Xを消去すると (2Y)-8(2Y) +Y2 + 12 = 0 ∴. 5Y2 - 16Y + 12 = 0 ..(5Y-6)(Y-2)=0 :.Y = = 2 5' 12 4 したがって ( (), (4, 2) 5 5' 5
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(3)t > 0 i. (2)より (X-2Y) + (X2-8X + Y2 +12) = 0 •••••• ① ある点(X, Y)が領域Dに含まれる tについての1次方程式 ①がt>0の範囲に解をもてばよさげ。 1次関数 y = at + b が右半分で解をもつ ア傾きが正のとき,切片が負 傾きが負のとき, 切片が正 ウ傾きが0のとき,切片も0 (a>0かつb <0) (a<0かつb>0) (a=b=0) X-2Y>0 ア X2 - 8X + Y2 + 12 < 0 X-2Y<0 | X2 - 8X + Y2 + 12 > 0 Y<-X 2 【(X-4)' +γ2 <4 X √ √ > x 2 (X-4)2 + Y2 > 4 12 ウ (2)より2点( (), (4, 2) 5 これらを座標平面上にお絵かきすると･･･
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y 265 12 5 かなり変だけど x
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(3) やりたくない･････ ii. 図のように線分ABの中点を M, 直線 MPと円 C の交点のうち 第4象限にあるほうを Nとする。 条件を満たす円 K の中心の座標 は線分 MN の中点, 半径は線分 MN の半分となる。 265 +4)÷2, (+3+2)+2)=( 16, 34) 5 B A M Po 25 12 4 ► M(1/23 +4 8 8 5 ▷ 直線 M Po の式y= (x-4) y=-2x + 8 16 5 N ▷ 直線 M Po(y=-2x+8)と円 Co ((x-4)2+y2=4)の交点 40 ±√80 20 ± 2√5 (x-4)2 + (−2x + 8)2 = 4 ∴.5x2 - 40x + 76 = 0 ..x= 20+2√5 よって, N の座標は ( 4/5) 5 ①と②の中点が円 K中心の座標だから 1620+2√5 ・+ 5 - 10 2 5 -4√5. 18+√5 -)÷2, + -) ÷ 2)=(- 4-2√5) 5 5 5 5 (M Po+ PoN) 2が半径。 ここで MP (4- 16. 8. 4 - + (0. よって PN=半径=2 (MP+P,N)+2=(4√5+2)+ 2 = 2/25 +1 = たぶん外分点の公式を使う問題だと思うけど外分きらいだから・・・
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