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2024年度11月 高2 進擲試自学 @Akagi B8 平面上に OA = 2, OB = 3, cos ∠AOB = の△OAB が 3 あり,辺 AB を 2:1に内分する点をCとする。 また, OA = a, → OB = b とする。 (1) 内積a・bの値を求めよ。 また, OC を a, b を用いて表せ。 (2) kは実数とする。 直線 OC 上に点H を OH = kOCとなるよ うにとる。 OC⊥AH となるとき, kの値を求めよ。 (3) 直線 OC に関して,点Aと対称な点をDとする。 OD を a, bを用いて表せ。 また, 直線 OD と直線 AB の交点をEとす るとき, AB:BE を最も簡単な整数比で表せ。 (配点 20)
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2 自学 3 A → → (1) 内積の定義 a b = |a||b|cos日に C ① |a|=2,|6|=3, cos0= 2-3 2 を代入すると a.b=2×3× 3 = 4 |na+mb また、内分点の位置ベクトルの公式 にm=2, n=1 m+n 10A + 2OB 1 → を代入すると OC == 2+1 3 2 a+ .b劄 3
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(2)(1)より OC = 1 + 26 a+ 2-3 -b 問題文より OH = kOC H 3 よって OH == 3 1 → 2 -ka+ -kb 3 ・B (2) C ① であり、 AH = OH - OA 始点の統一 2 = k-1)a -kb OC⊥AH だから、 ベクトルの垂直条件(内積の値が0)より |OC・AH = 0 2 2 ①と②を代入して -b) -k-1)a -kb 0 かっこをはずすと x(=k-1)lap+=x 3 3 2 1 3 3 1 ka.b 3 3 2 2 3 3 +=x(-k-1)a ・b + x=k|b|=0 |a|2=22=4,|6|2=32=9, ab=4を代入して整理すると 6k-2/3×4+/kx4 + 9 この1次方程式を解くと 14 4 )×4+-k×9=0
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(3) お絵かきすると D A H B ~前半~ 1 9 (2)より AH = (- × - -1)a + 2 3 14 × 3 11 6: AD = 2AHより AD --- a+ 7 7 11 6 始点を統一すると OD-OA -- -b 7 7 よって 4 6 - a+ .b OD=--+-- 7 7 9 14 --- 11→ a+ 3 - -b 14 7
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~後半~ Eは直線 OD 上にあるから OE=tOD 共線条件 4- - 6 --- ・ta + -tb (3) 7 7 E は直線 AB 上にもあるから、③の係数の和が1になるので 4 6 係数和 1の法則 --t+ t = 1 7 7 これを③に代入すると OE = 7 -- 2 47-6 -- x-a+-× 7- 7 2 7 2 -2a+3b == - 2a+3b 3-2 → .b 外分点の位置ベクトル の形にしてみる よって、点E は、 辺 AB を 3:2に外分するから、 AB:BE = 1:2圈
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