【高3 微分積分（数Ⅱ）】10月第2回ベネ駿記述模試

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

高校3年生

2025.10.07 公開

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ノートテキスト

ページ1:

2024 年度 10 月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学@Akagi
Y問題
Y3 kを定数とする。 関数 f(x) = -3x2+kxがあり, 0 を原点とする
座標平面上において, 放物線 C:y=f(x) 上の点(1,f(1))における
接線の傾きは4である。また,Cのy > 0 の部分に2点A(a, f(a))
B(b,f(b))(ただし,k)をとる。
(1)kの値を求めよ。 また, 直線 OB の方程式をbを用いて表せ。
(2) Cの0≦x≦αの部分と直線x =αおよびx軸で囲まれた部分を
D,とし,その面積を S, とする。 S, をαを用いて表せ。また, C
と直線 OB で囲まれた部分を D, とし,その面積をSとする。 S2
をbを用いて表せ。
(3)(2)において, 直線 OB が D の面積を2等分するとき, bをαを
用いて表せ。 このとき,さらに直線 x = α が D, の面積を2等分す
(配点 50 )
るようなaとbの値をそれぞれ求めよ。

ページ2:

@Akagi
~微分・積分法(数Ⅱ)~
(1) f(x) = -3x2 + kx
を微分すると
f'(x) = −6x+k
f'(1) = 4より
f(x)=-3x²+10x)
- 6x1+k=4
.. k = 10
B(b, 3b2+10b)
-36² +10b
X
よって, 直線 OBの方程式は
y
b
.. y = (-3b+10)x

ページ3:

(2) お絵かきすると
よって, D, の面積は
s="f(x)dx
=f" (-3x2 +10x)dx
=x+5x2}
= -a3+5a2答
==
お絵かきすると
よって, D2 の面積は
1
a
f(x)=-3x2+10x
S2 =${f(x)-(-36+10)x}
=S(-3x2+3bx)dx
-bx2
0
=
x+
2
3
1
=
-63 +
2
-b2=-62答
2
D2
f(x)=-3x2+10x
B
y=(-36+10)x
b

ページ4:

(3) お絵かきすると
直角三角形の面積は
ax(-3b+10)a ÷ 2
a² (-3b+10)
...
.1
直線 OB が D の面積を2等分
するとき, S, = 1 ×2が成り立つ
から
-a' + Sa²=1/2a^(-36+10)×2
-a³
>>>
A
b
a
2
∴. - a + 5 = -36 + 10 ( ∵ a > 0 より両辺を2で割る)
∴.b
a+5
3
答
B

ページ5:

(3) お絵かきすると
ピンクの部分の面積を求めると
∫{(-3x2 +10x)-(-3b+10)x}dx
= f(-3x²+3bx)dx
3 2
= [ = x² + 2 2 bx² ] °
x+
a
= -a +
3+2020
2
a
D2
B
x=aがDの面積を 2 等分するとき, S, =2×2が成り立つから
62
±²±² b² = (-a² + ²³±³a²³b)×2
∴. b3 - 6a2b+ 4α = 0
∴ (b-2a) (b2+2ab-2a²)=0
b=2a, (-1±√3)a
b=(-1+√3)aのときb <a ×
b=(-1-√3)a のとき 6 < 0 ×
よって b=2a。
a+5
これと前半で求めたb=-
を連立方程式として解くと
3
a = 1, b = 2答