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5 メネラウスの定理 △ABC の辺 BC, CA, AB またはその延長が、 三角形の頂点を 通らない直線 l と、 それぞれ点 P, Q, R で交わるとき、次のことが成り 立つ。 A l R BPCQAR × :1 PC QARB ※前回説明した『碁石』を使うとラクかも。 B C P
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〖テストに出そうな問題①】 右の図の△ABC で、 AR: RB = 2:3 BC:CP = 2:1 このとき、次の比を求めよ。 (1) CQ: QA R A B C P (2) PQ QR 考え方の例 2 3 CQ 2 (1) × = 1 (2) 31 QA CQ QA = 1 2 よってCQ:QA = 1:2 × 2 51 × PQ QR PQ QR = : 1 5 = 4 よって PQ QR = 5:4 スタート A ② ゴール 5 (1) スタートゴール 2
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【テストに出そうな問題②】 △ABC の辺 AB AC を 1:3に内分 , する点を それぞれ R, Q とします。 また、 線分 BQ と CR の交点を0とし、直線 AO と辺BC の交点をPとします。 (1) BP:PC を求めよ。 (2)△OBC: △ABC を求めよ。 考え方の例 A R Q B P 1 BP 3 (1) △ABCとP・Q・R でチェバると × × = 1 3 PC1 BP =1より PC BP:PC=1:1 AR BC PO (2) △ABP と共線 RC でメネると = RB CP OA 1 2 3 よって x - x 1 OA PO: OA =3:2 PO = 1 すなわち OP: AP = 3:5 2つの三角形の底辺は等しいので、高さの比が面積の比になる から 相似を考えると △OBC: △ABC = = 3:5 高さの比はOP と AP の 比に等しいよ
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