ページ3:

信賴區間(Confidence Interval): 用一個區
間 [P− e, P+ e] 來表示母體平均數 P 可能落
入的範圍,其中P是估計值,e是誤差界限。
信心水準(Confidence Level):指正確值落
在信賴區間內的機率,例如n%信心水準表示有
n% 的信心認為正確值會落在該區間內。
• 抽樣誤差(Sampling Error): 誤差界限
(1-P)
e=
n
√n
68% 信心水準的信賴區間:為
PĈ1 – Pŷ
PĈ1 – Pŷ
P+
] = [Pˆ= o, Pˆ+ 0] °
n
n

ページ4:

95% 信賴區間
Answere±2
Answer: P±21
PÎ1 – Pŷ
n
這兩條公式是基於經驗法則(或稱68-95-99.7 法
則)的應用。 在常態分佈中,大約95% 的數據會
落在平均數的兩個標準差範圍內。
99.7% 信賴區間
P(1 – P)
-
Answer: P+ 3
n
同樣地,根據經驗法則,大約99.7% 的數據會落在
平均數的三個標準差範圍內。 這些公式用於估計母
體比例 P 的信賴區間,其中 P 是樣本比
例,
PĈ1 – Pŷ
是比例的標準誤.
n

ページ5:

信賴區間(Confidence Interval): 用一個區
間 [P− e, P+ e] 來表示母體平均數 P 可能落
入的範圍,其中P是估計值,e是誤差界限。
信心水準(Confidence Level):指正確值落
在信賴區間內的機率,例如n%信心水準表示有
n% 的信心認為正確值會落在該區間內。
• 抽樣誤差(Sampling Error): 誤差界限
(1-P)
e=
n
√n
68% 信心水準的信賴區間:為
PĈ1 – Pŷ
PĈ1 – Pŷ
P+
] = [Pˆ= o, Pˆ+ 0] °
n
n

ページ6:

圖片內容主要說明了在統計學中,如何計算母體比
,
針對兩種不同
例 (P) 的信賴區間(Confidence Interval, Cl)及
其誤差界限(Margin of Error, e)
的信心水準:
95%信心水準: 信賴區間為[P-20, P'+ 20]
或[P-2e, P+2e]。
@
99.7%信心水準: 信賴區間為[P- 30, P+30]
或[P-3e,P+3e]。
P1-P)
誤差界限:公式為e=Z*1
,
其中
n
Z 值根據信心水準而異
。
註釋: 說明了在標準常態分布Z 中,高中課程通
常使用 Z = 2 作為95%信心水準的近似值,而
大學統計學則使用更精確的Z= 1.96。

ページ7:

7. 母群體之平均數的信賴區間、信心水
準及抽樣誤差
Answer: 信賴區間
母群體個數很多時,想實際普查去求平均數 H及標
準差 o 可能有實際困難,通常由母群體抽取一些樣
本來觀察分析。
1. 區間記號
區間記號 [a,b] 表示 {x|a ≤ x ≤ b},(a, b) 表示
{x[a < x < b},(a,b]表示{xa < x ≤ b},
[a,b)表示{xla ≤ x < b}。
2. 信賴區間
想正確估計出母體之P並不容易,因此改用一區
間來表示 P 可能落入的範圍,即所謂信賴區間。
通常信賴區間寫為〔估計值–誤差界限, 估計值+
誤差界限〕 = [P-e, P+ e],這種估計就是區間估
計。
3. n% 之信心水準
指正確值落在信賴區間內有2%之信心,或說抽樣
很多次,每次所算出之信賴區間有 n% 會涵蓋正確
值。

ページ8:

3. n% 之信心水準
指正確值落在信賴區間內有 n%之信心,或說抽樣
很多次,每次所算出之信賴區間有 n% 會涵蓋正確
值。
4.母群體之平均數P之信賴區間
68%信心水準之信賴區間為[P−o, P+o]。其
誤差界限e=0。

ページ9:

2. 解釋無P資訊下的保守估計法
Step 1: 說明保守估計的原理
在沒有母體比例P 的資訊時,為了確保樣本數 n
足夠大以涵蓋所有可能的變異,會尋找
VP1 – P) 的最大值。
-
Step 2: 找出最大值
VP(1 – P) 的最大值發生在 P= 0.5 時,最大值
-
為0.5。
Step 3: 說明影響
使用此最大值 0.5 代入計算樣本數的公式中,可以
得到一個「保守」的、最大的n值,確保在任何可
能的 P 值下,估計誤差都能滿足要求。
Answer:
在無 P 資訊時,利用VPRI - P) 的最大值 0.5
來計算樣本數,可確保樣本數 n 足夠大,涵蓋所有
可能情況,使估計誤差滿足要求。

ページ10:

8. 由抽樣誤差範圍,決定抽樣數
Answer,這是一個概念性問題,旨在說明在不同信
心水準下,估計誤差(e)與樣本大小(n)和標準差(o
或 o) 之間的關係。
門題展示了如何根據可培产品
PAC 1976
。
估計誤差(e): 代表樣本統計量(例如樣本平均數
或比例)與真實母體參數之間的可能差異範圍
• 信心水準:表示真實母體參數落在估計誤差範圍
內的機率。
標準差(a):表示數據的分散程度。 在實際應用
中,通常使用樣本標準差(c)或比例的標準誤
(VP(1-P)/n)來估計。
具體來說:
68%信心水準(約1個標準差範圍):估計誤差e
至少為1倍的標準誤 (o 或VP(1− P)/n)。

ページ11:

68%信心水準(約1個標準差範圍):估計誤差e
至少為1倍的標準誤(o 或VP(1-Pi/n)。
95%信心水準(約2個標準差範圍):估計誤差e
至少為2 倍的標準誤 (20 或2VP(1 - Pi/n)。
這些公式可用於反推所需的最小樣本數n,以確保
估計誤差e不超過特定範圍。

ページ12:

2. 解釋無P資訊下的保守估計法
Step 1: 說明保守估計的原理
在沒有母體比例P 的資訊時,為了確保樣本數 n
足夠大以涵蓋所有可能的變異,會尋找
VP1 – P) 的最大值。
-
Step 2: 找出最大值
VP(1 – P) 的最大值發生在 P= 0.5 時,最大值
-
為0.5。
Step 3: 說明影響
使用此最大值 0.5 代入計算樣本數的公式中,可以
得到一個「保守」的、最大的n值,確保在任何可
能的 P 值下,估計誤差都能滿足要求。
Answer:
在無 P 資訊時,利用VPRI - P) 的最大值 0.5
來計算樣本數,可確保樣本數 n 足夠大,涵蓋所有
可能情況,使估計誤差滿足要求。

ページ13:

68%信心水準(約1個標準差範圍):估計誤差e
至少為1倍的標準誤(o 或VP(1-Pi/n)。
95%信心水準(約2個標準差範圍):估計誤差e
至少為2 倍的標準誤 (20 或2VP(1 - Pi/n)。
這些公式可用於反推所需的最小樣本數n,以確保
估計誤差e不超過特定範圍。

ページ14:

設例1 某一次抽樣調查全國全面禁煙, 在
95%之信心水準下,欲使估計誤差e 不超
過5個百分點,欲求所需之樣本個數n
Step 1: 識別問題類型與參數
此問題為程序性統計學作業題,要求計算在給定信
心水準下的最小樣本數 n。 根據題目描述,信心水
準為95%,估計誤差上限為5 個百分點,即
e = 0.05。 此外,題目並未提供母體比例P 的資
訊,因此需要使用保守估計法來計算樣本
數 ®
。
Step 2: 應用保守估計公式
在沒有 P 資訊的情況下,95%信心水準下的保守
2
樣本數公式為n>
(+)²
Step 3: 進行計算
將e = 0.05 代入公式中:
2
"≥ (0.05) ²
n>
n ≥ (20)2
n≥400

ページ15:

Answer: 1度≈0.01745弳
• 一個圓周角等於360度,也等於2元。
元
1度 =
弳
。
180
180
1弳=
度 ≈ 57 度 17 分45秒。
@
元
g
Answer:
這張圖片提供了關於弧度、六十分制以
及它們之間換算的詳細數學定義與說
明。
弧度定義:弧長等於半徑時的圓心角為一弧度。
兩種制度:介紹了使用弧度作為單位的「弧度
制」和使用度、分、秒作為單位的「六十分
制」
。
換算公式:提供了360°=2元弳,以及
元
180°
1°
=
弳、1弳=
的換算關係。
180
πT
應用備註:提醒使用弧長公式S=r0時,角度
0必須使用弧度量。

ページ16:

I TOO
Answer:
所需樣本數至少為400人。
2. 解釋無P資訊下的保守估計法
Step 1: 說明保守估計的原理
在沒有母體比例 P 的資訊時,為了確保樣本數 n
足夠大以涵蓋所有可能的變異,會尋找
VP(I - P) 的最大值。
Step 2: 找出最大值
V
P(1 – P) 的最大值發生在 P= 0.5 時,最大值
為0.5。
-
Step 3: 說明影響
使用此最大值 0.5 代入計算樣本數的公式中,可以
得到一個「保守」的、最大的n值,確保在任何可
能的P值下,估計誤差都能滿足要求。

ページ17:

1.計算所需樣本數
Step 1: 確定信心水準與誤差公式
題目要求在95%信心水準下,且無P資訊,因此
選用對應公式:
2
"≥ (÷)²
n>
其中為估計誤差。
Step 2: 根據題目資訊代入誤差值
根據圖片下方例題文字(未完全顯示,但根據常見
題型推斷),欲使抽樣誤差在±5個百分點(即
e = 0.05)。
Step 3: 計算樣本數
將 e = 0.05 代入公式:
n >
(0.05%
n≥ (20)²
n≥400
2

ページ18:

(3)基本關係:
(a) 倒數關係:
Answer: 餘切(cot 0) 是正切(tan A) 的倒數,正割
(sec 0)是餘弦(cos 8)的倒數,餘割(csc 0)是正
弦(sinA)的倒數。
(b)平方關係(畢氏定理):
Answer: 1+ tan² 0 = sec² 0 ;
1+ cot² 0 = csc² 0 ·
。
(c)商數關係:
cos O
Answer: 餘切(cot 8)等於
sin 0
(d) 餘角關係:
元
Answer: sin(
2
COS (1
cot(
-
|
元|2 元|2
0)
(0)
0) = cos 0;
= sin 0 ; tan(·
= tan 0 °
元
0)
= cot 0 ;
2

ページ19:

1. 弧度(Radian)
Answer: 弧度(Radian)
在圓上取一段弧,使其長度等於半徑,則這段弧所
對應的圓心角定義為一弧度(或一弳)。
2. 弧度制與六十分制(Radian System
and Sexagesimal System)
Answer: 六十分制(Sexagesimal
System)
• 弧度制:使用弧度(經)作為衡量角度大小的系
統。
六十分制:將一個圓周角分成360 等份,每份為
一度;一度再分60 分;一分再分60 秒
(1°=60',1'=60")。這是社會上通行的六十進
位制。
3. 換算(Conversion)
Answer: 1≈ 0.01745
• 一個圓周角等於 360 度,也等於 2元 弳。
• 1度
=
元
180
弳。
C

ページ20:

扇形弧長、半徑、中心角
Answer 扇形的圓心角必須使用弧度值
(radian)。
在扇形弧長 S、半徑r 和圓心角 0 的關係式
S = r0 中, 必須以弧度(radian)為單位。 這是
因為弧度的定義本身就是弧長與半徑的比值,即
0 =
S
r
。
例如,當半徑r=2,弧長 S=6時,圓心角
0
=
6
=3(弧度)。
2
此外,使用此公式時,弧長與半徑的長度單位必須
一致。
扇形面積的公式則為A=
A
=
12
Sr
。
1

ページ21:

3元
(i)
2
+0(270°+0):位於第四象
限,cos 0, sec 0 為正。 例如
3元
sin( + 0)
=
-
- cos e。
2
● 總結規則:
of(nz±0)= (符號)(同類函數)(n為整數)。
πT
)×±0)=(符號)(餘類函數)(n為整數)。
2

ページ22:

3. 餘切cot 0, 正割sec0,餘割csc0之
定義及相關常識:
(1)銳角三角函數:
Answer: 針對直角三角形中的銳角),餘切(cot A)
是鄰邊與對邊的比值,正割(sec 0)是斜邊與鄰邊
的比值,餘割(csc 0)是斜邊與對邊的比值。
(2)廣義角之三角函數:
Answer: 對於標準位置的廣義角0,在終邊上取一
點 P(x, y),令r =Vx²+y²,則餘切(cot 0) 定
X
義為
-
,
正割(sec 0)定義為
,
餘割(csc 0)定義
y
X
為
r-y
。

ページ23:

同界角公式:sin(2nz+0) = sin8、
cos(2nл + 0) = cos 0
·
。
• 負角公式:sin(0) =-sin0、
cos(-) = cos 0·
餘角公式:sin(
-
0) = cos 0
TπT
cos( - 0)
2
-
=
sin) 等。
• 補角公式:sin(x)=sine、
cos(л – 0) = = cos 0·
-
·
- -

ページ24:

(2)&(3)繪製圖形
Answer: 先畫一週期圖形,再仿畫(複製)其他週期
之圖形,且務必學會六個三角函數圖形並能迅速作
出引用。
Explanation:
繪製三角函數圖形時,建議先掌握一個完整週期
的圖形特徵,例如正弦函數在[02]或
[一刀,]區間的波形。 @
由於三角函數具有週期性,可以透過平移或複製
基本週期圖形的方式,快速繪製出整個定義域範
圍的圖形。 @
熟練掌握所有六個三角函數的圖形及其性質(如
定義域、值域、漸近線等)對對於後續的數學學習

ページ25:

4. 週期函數
(1)週期函數及週期
Answer: 週期函數 (週期函數)
函數值成週期性循環的函數稱為週期函數。 數學上
定義為:設有一常數P及一函數f(x),若對f定
義域中的任一數x,恆有f(x+p)=f(x),則函
數f叫做週期函數。若p是使 f(x+p)=f(x)
成立的最小正數,則p叫做f的週期(成循環之
最小間隔)
(2)特點
Answer: 特點(特點)
① f(x + p) = f(x) ⇒ f(x) = f(x + np),
n∈Z
• ②若 f(x+p) = f(x), p > 0,且f(x)不為常
P
數函數,則 f(x)之週期為 (至多為 p),其
中 n 為某一自然數。
n
③ 週期函數之函數值既然週期循環,求其值域
可只求一週期之值域,畫其圖形可先畫一週期之
圖形,其餘仿照描畫。

ページ26:

此頁面主要說明三角函數在不同象限角(x+0,
3元
3元
0, + 0)下的轉換規則:
2
2
(g)z + 0(180°+8):位於第三象
限,tan 0, cot) 為正。 例如
sin(л + 0) = − sin 0 •
3元
(h) ³
2
-
(270°-0):位於第三象
限,tan 0, cot 0 為正。 例如
3元
sin(
0)
=
-
- cos 0 ·
。
2
3元
(i) +0(270°+0):位於第四象
2
限,cos 0, sec 0 為正。 例如
3元
sin(
+ 0)
=
-
- cos 0
。
2
總結規則:
○ f(nz ± 0) = (符號)(同類函數)(n為整數)
。
○ f((2n+1)×ㄙㄨㄣ0)=(符號)(餘類函數)。

ページ27:

AI 摘要
+1
這張圖片提供了關於函數圖形平移與伸縮變換的數
學聿記摘要。 @
圖形 T: f(x, y) =0變換為': f(ax,y) = 0
時,是在y坐標相同的情況下,沿 x 軸方向伸
1
縮為原來的 倍。
a
圖形 T: f(x,y)=0變換為': f(x,ay) = 0
時,是在 x 坐標相同的情況下,沿y軸方向伸
縮為原來的 倍。
-
a
圖形T: f(x,y)=0變換為
T': f(ax, by) = 0 時,圖形上的任一點
hk
P(h, k) 會伸縮到對應點
。
,
a b
• 最後提醒需熟練六種三角函數圖形的繪製,並能
隨時應用平移、伸縮作圖。

ページ28:

6. 圖形之平移與伸縮
Answer: 該內容為正確的數學原理說明
該內容說明了在二維座標系中,函數圖
形平移的基本規則。
• 水平平移:若將函數f(x,y)=0的圖形向右平
移 h 單位,新的函數方程式為
f(x - h, y) = 0。
• 垂直平移:若將函數f(x,y)=0的圖形向上平
移 k 單位,新的函數方程式為
f(x,y-k) = 0。
原理:其理由在於,若點 P(xo,yo)在原圖形
上,則滿足 f(xo, yo)=0。平移後的對應點為
(xo + h, yo+ k)。為了使新點滿足新方程式,
我們需要將 x) 替換為x-h(即
xo = x − h),將yo替換為y-k(即
-
yo = y - k),從而得到 f(x-h, y- k) = 0。
圖片中僅示範了水平平移的理由。

ページ29:

5. 三角函數之圖形
(1)三角函數為週期函數
Answer: sin、cos、sec、csc 之週期為2元,
tan、cot 之週期為元。
Explanation: e
根據週期函數的定義,若存在一個非零常數 T
使得 f(x + T) = f(x)對於所有 x 成立,則
f(x)為週期函數,T的最小值為其基本週期。
正弦、余弦、正割、餘割函數滿足
sin(2л + x) = sin x 、 cos(2лà + x) = cos x `
sec(2丌+x) = secx、csc(2元+ x) = CSC x,
因此它們的週期為2元。
正切、餘切函數滿足 tan(元+ x) = tan x、
cot(↗ + x) = cotx,因此它們的週期為 z。

ページ30:

• 方法①:找到一個角使 cos e =
sin 0 =
○則
1
b
√a² + b²
。
a
√a² + b²
a² + b² (cos sin x + sin 0 cos x) =
0 = √√°
a
方法②:找到一個角 ∮ 使 sin ∮ =
Va² + b²
b
cos &
=
。
√α² + b²
○則
x = √√ a² + b² (sin o sin x + cos & cos x)
& =
。

ページ31:

• 方法①:找到一個角使 cos e =
a
√a² + b²
b
sin 0 =
。
√a² + b²
○則
sin x + sin 0 cos x) =
2
a² + b² sin(x + 0) ·
a
方法②:找到一個角 ∮ 使 sin ∮ =
Va² + b²
b
cos &:
=
。
○則
√α² + b²
in x + cos cos x) =
2
√a² + b² cos(x − ¢) °
-

ページ32:

這張圖片提供關於正弦波的定義、特性以及與簡
諧運動的關係的摘要
。
• 定義與參數:函數y=Asin(ot+)稱為正弦
2元
波,其中 A 是振幅,T= 是週期,是相
W
位角。
圖形轉換: 函數y = rsin(kx + c) 的圖形可由
y=sinx 經平移、伸縮而得。
餘弦波:餘弦波 y=rcos (kx+c)可以轉換為
正弦波形式。
簡諧運動與頻率:滿足正弦波關係的運動稱為簡
1
W
諧運動。 頻率 f定義為f:
=
=
,
單位通
T
2元
常為 Hz。

ページ33:

3. 求極值之題型
內容概述
Me
題型(1) f(x) = a sin² x+bcosx+c:需透過配
方法(先將 sin² x 轉為 cos² x 或反之)化為單
一函數形式求解。
題型(2) f(x)=asinx+bcosx+c:利用三角
函數的疊合公式求解。
題型(3)
f(x) = asin² x+bsinxcosx+ccos² x+d:
需利用倍角公式將 sin²x, cos² x, sinx cosx 轉
換為 cos2x 和 sin2x 的形式,再進行疊合求
解。
題型(4)
f(x) = a(sinx+cosx)+bsin x cos x: 可令
sinx ± cos x =t,將原式化為t的二次式後求
解。
題型(5):泛指利用倍角及其他三角公式將函數疊
合(化成單一變動項)來求解極值的方法。

ページ34:

2. 正餘弦函數之疊合
(1) 圖形之疊合
Answer:y坐標是兩個函數在該點y坐標的總和,即
高度和
說明:
設有兩函數 f(x)和f(x),它們的和函數為
f(x) = fi(x) + f2(x)。
在任意一點 xı時,和函數圖形上的點
P(x1,f(x1)+g(x)) 的 y 坐標,等於 f(xı)
與g(x)兩函數在該點y坐標的總和。
這在圖形上表現為f(x)與 g(xı)兩函數高度
的和。

ページ35:

(2)正餘弦函數之疊合
Answer: y = Va² + b2 sin(x + 0) 或
b²
y = Va² + b2 cos(x - d)
說明:
正餘弦函數的疊合是將形如
y=asinx+bcosx 的式子合併成單一三角函
數形式。
方法①:找到一個角 A 使 cos e =
a
Va²+b2
b
sin e =
○則
a² + b2
y = a sin x + bcos x = Va² + b2 (cos O sin
方法②:找到一個角使sin
a
=
a² + b2
b
cosp
=
○則
Va² + b2
y = a sin x + bcos x = Va² + b²(sinpsin。

ページ36:

(6)雙曲線的參數方程式
Answer:(6)式為雙曲線
(x-h)² (y-k)
||
=
a²
b2
之一種參數方程式
若點 P(x,y)在雙曲線
(x-h)²
(y – k)²
=
a²
b2
上,則可使用三角恆等式 sec20-tan² 0 = 1 來建
立其參數方程式。
將 x 和 y 的表示式代入雙曲線方程式中:
(ha sec - h)²
a²
(k + b tan 0 −k)²
-
(a sec
b2
a²
化簡後得到:
a² sec² 0
b² tan² 0
=
sec² 0 - tan² 0
a²
b2
根據三角恆等式,結果為1,這證明了參數方程
式的正確性。
sec² 0 - tan² 0 =1

ページ37:

(4)若 P(x,y)為
(x − h)²
г:
-
a²
(y-k)²
+
1 上任一點
b2
x = h+acos A
Answer:
y = k + b sin 0
(5)若P(x,y)為
點
Answer:
x = a sec 0
y=btan A
尸
1上之一
b2

ページ38:

4. 圓及橢圓、雙曲線之參數方程式
(1)若 P(x,y) 為圓 C:x²+f=2上
任一點
Answer:
fx=rcosA
y = r sin 0
(2)若P(x,y)為圓
C : (x−h)² + (y-k) = r㎡上任一點
Answer:
x=h+rcos e
y = k + r sin 0
0
(3)若 P(x,y)為「:
任一點
Answer: P
x = acos e
y=bsine
ală
+
=
1上

ページ39:

2. 複數之極式
Answer: (1) r, (2) |Z|, (3) |Z|(cos 0 + i sin 0)
Explanation:
這是一個關於複數極式定義的填空題
。
(1) 設Z = a + bi (a,b∈R),則存在r,使
Z = r(cos 0 + i sin 0), 其中 r = Va² + b²。這
個r(cos+isin)形式稱為 Z 的極式,而r代
表複數 Z 到原點的距離,稱為模長或向徑。
(2) 設 Z = r(cos+isin0) 為極式,則r的值即
為 Z 的模長,數學上表示為 [Z]。0稱為Z 的幅
角,在[0,2元)範圍內的這個幅角稱為主幅角,記
作 Arg(Z)。
(3)已知 |Z|(模長)及Z之一幅角 0,則 Z 可以
表示為 Z (cos 0 + isin 0)。

ページ40:

1.複數的向量表示與運算
1
Answer:复數 Z 和 Z, 在複數平面上對應的向量
OP和OQ
加法和減
法。
向量表示: 複數 Z = a + bi 可以用從原點 O指
向點P(a, b)的向量OP 來表示。
1
向量加法: 兩個複數的加法 Z + Z2 對應於它
們各自向量 OP 和 OQ 的向量和 OP+OQ。
向量減法:兩個複數的減法Z-Z2 對應於向
量OP-OO。
向量長度:兩個複數差的絕對值|Z-Z]表示
對應點P和Q 之間的距離 PQ。

ページ41:

1. 複數平面及複數之一些幾何意涵
Answer: 概念說明
。
複數 z 的標準形式a+bi(其中 a, b ∈ R)
可以對應到坐標平面上的點(a,b)或位置向量
(a,b).
,
複數平面(高斯平面)將坐標平面上的點
P(a,b)與複數a+bi——對應,其中x軸稱為
實軸,y軸稱為虛軸。
在複數平面上,共軛複數7= a − bi 是 z 對實
軸的對稱點;z 是z對原點的對稱點;一ž 是
Z 對虛軸的對稱點。
複數絕對值 |z| = Va² + b²表示z 點到原點
的距離 OP。
絕對值性質包括三角不等式
|31| + |22| ≥ | Z1 ± 2 · Œ‹ƒ±
|Z1·Z2|=|Z1|·|z2| · DXB z • Z = |z|² * •
兩點P(zy),Q(22) 之間的向量可用 Z2 - Z1 表
示,距離 PQ = zzzZz]。
-

ページ42:

2元
2元
這是一個關於 w = COS
+isin
複數性質的
n
n
題目,要求填入兩個空格。
• 第一個空格填入w”的值。 根據棣美弗定理(De
Moivre's
Theorem)
2元
2元
› wn = (COS + isin " )" = cos(2x)+isin(2
-
=
n
n
第二個空格填入1 + 0 + 0²+.......
+ wn-
的
值。 由於 w 是方程式 x=1的虛根,而
1,0,
1, w, w², ...
2–1
是所有n 個根,它們的總和
”
等於方程式 x”+0x2+1 + ... + 0x - 1 = 0 中
n-
x"−1項的係數除以x”項的係數的負值,即
0
=0(或視為等比級數求和公式)。

ページ43:

複數的乘法與除法:說明了兩個複數
Zi = ri(cose+isine)和
Z2 = r2(cosd2+isine)的乘積為
Z₁ · Z₂ = r1º2[cos(01 + 02) + i sin(01 +02)] ;
商為
Z1
NN
=
2
r1
-
r2
-
[cos(01 − 02) + i sin(01 − 02)] °
棣美弗定理:指出若 Z = r(cos e+isine),則
Z" = r"(cos n+isinne),其中 n 可以是正
整數、負整數或O。
幾何解釋:解釋了複數乘法在複數平面上的幾何
意義,即旋轉角度並伸縮距離。

ページ44:

第一個空格填入”的值。根據棣美弗定理(De
Moivre's
Theorem)
2元
,cos 2" + isin 2"y" = cos(2n) +isin(2z) = 1
n
n
• 第二個空格填入 1 + 0 + 0²+....... + co″-1 的
wr~1
士
4+1
ALTOL
n
1
出口

ページ45:

Answer: 1度≈0.01745弳
• 一個圓周角等於360度,也等於2元。
元
1度 =
弳
。
180
180
1弳=
度 ≈ 57 度 17 分45秒。
@
元
g
Answer:
這張圖片提供了關於弧度、六十分制以
及它們之間換算的詳細數學定義與說
明。
弧度定義:弧長等於半徑時的圓心角為一弧度。
兩種制度:介紹了使用弧度作為單位的「弧度
制」和使用度、分、秒作為單位的「六十分
制」
。
換算公式:提供了360°=2元弳,以及
元
180°
1°
=
弳、1弳=
的換算關係。
180
πT
應用備註:提醒使用弧長公式S=r0時,角度
0必須使用弧度量。

ページ46:

根據棣美弗定理(De Moivre's Theorem)的應用,
複數的n次方根可以表示為
√r(cos
8+2k元
0+2k元
+isin
,
其中
n
n
當 k = 0 時,解為 Vr(cos 7+isin)。
k = 0, 1, ..., n-1。
對於平方根(n=2),有兩個解(k = 0,1)。
2
當k=1時,解為
√r(-co
COS
cos - - i sin 2/2) = - √F(cos + i sin 2).
-
2
2
0
因此,平方根為 ± Vr(cos+isin

ページ47:

(1)平方根
① Z² = a=r(cos+isinA)的平方
根
Answer: ± Vr(cos7+isin 2)
Explanation:
A
2
根據棣美弗定理(De Moivre's Theorem) 的應用,
複數的 n 次方根可以表示為
√r(cos
0+2k元
0+2k元
+isin
,
其中
n
n
k = 0, 1, ..., n-1。
對於平方根 (n=2),有兩個解(k=0,1)。
A
當k = 0 時,解為 vr(cos7+isin
。
2
當k=1時,解為
0+2元
√r(cos
+isin
2
2
0 + 2) = √r (cos( 1 + 1 °
0
0
因此,平方根為 ± r(cos7+isin
2

ページ48:

③ Hi!=0,令
Z = a + bi + t(1 + i²), 求實數 t 使
a+bi +t(1 + i²) ♬ (m + ni)²
Answer: t
Explanation:
題目指出1+2= 0,因此
a + bi + t(1 + i²) = a + bi + t(0) = a + bi •
此問題實際上是在尋找一個實數t,使得複數
a + bi 可以表示為某個複數(m+ni)²的形式,即
求a+bi的平方根。 然而,由於1+2=0的條
件,變數t 實際上被消除了,因此這個問題的重點
應該是求t的值,或者確認t實際上可以是任何實
數,因為它不影響最終的複數
O

ページ49:

② 令 Z² = a + bi = (x + yi)?
Answer: x, y之值
Explanation:
將 (x + yi)²展開得x²− y²+2xyi。 由複數相等
性質,實部等於實部,虛部等於虛部,可得聯立方
-
程組
x² − y² = a .
解此方程組可求得x,y的
| 2xy = b
值,進而得到平方根Z=x+yi。

ページ50:

根據棣美弗定理(De Moivre's Theorem)的應用,
複數的n次方根可以表示為
√r(cos 0+2kë
0+2k元
+isin
,
其中
n
n
k = 0, 1, ..., n-1。
對於平方根(n=2),有兩個解(k=0,1)。
。
當 k = 0 時,解為 Vr(cos 7 +isin)。
。
-
2
當k=1時,解為
Vr(cos(63+z)+isin( + z)) = Vr(− cos 6
2
2
0
因此,平方根為 ±r(cos7+isin
ㄇㄇㄧㄥˊˋ

ページ51:

根據棣美弗定理(De Moivre's Theorem)的應用,
複數的 n 次方根可以表示為
0+2k元
0+2k元
√r(cos
+isin
,
其中
n
n
當 k = 0 時,解為 Vr(cos 7+isin)。
k = 0, 1, ..., n-1。
對於平方根(n=2),有兩個解(k = 0,1)。
2
=
當k=1時,解為
COS
2
因此,平方根為 ± /r(cos7+isin
2
A
2
√F(-cos - - i sin 2) = - √√F (cos
-vr(cos+isin 。

ページ52:

(1)平方根
① Z² = a=r(cos+isinA)的平方
根
Answer: ± Vr(cos7+isin 2)
Explanation:
A
2
根據棣美弗定理(De Moivre's Theorem) 的應用,
複數的 n 次方根可以表示為
√r(cos
0+2k元
0+2k元
+isin
,
其中
n
n
k = 0, 1, ..., n-1。
對於平方根 (n=2),有兩個解(k=0,1)。
A
當k = 0 時,解為 vr(cos7+isin
。
2
當k=1時,解為
0+2元
√r(cos
+isin
2
2
0 + 2) = √r (cos( 1 + 1 °
0
0
因此,平方根為 ± r(cos7+isin
2

ページ53:

根據棣美弗定理(De Moivre's Theorem)的應用,
複數的n次方根可以表示為
√r(cos 0+2kë
0+2k元
+isin
,
其中
n
n
k = 0, 1, ..., n-1。
對於平方根(n=2),有兩個解(k=0,1)。
。
當 k = 0 時,解為 Vr(cos 7 +isin)。
。
-
2
當k=1時,解為
Vr(cos(63+z)+isin( + z)) = Vr(− cos 6
2
2
0
因此,平方根為 ±r(cos7+isin
ㄇㄇㄧㄥˊˋ

ページ54:

根據棣美弗定理(De Moivre's Theorem)的應用,
複數的 n 次方根可以表示為
0+2k元
0+2k元
√r(cos
+isin
,
其中
n
n
當 k = 0 時,解為 Vr(cos 7+isin)。
k = 0, 1, ..., n-1。
對於平方根(n=2),有兩個解(k = 0,1)。
2
=
當k=1時,解為
COS
2
因此,平方根為 ± /r(cos7+isin
2
A
2
√F(-cos - - i sin 2) = - √√F (cos
-vr(cos+isin 。

ページ55:

(1)
Answer:依同一規則逐漸縮小之幾何圖形的度量和
(長度和、面積和、體積和、角度和......)應利用無
窮等比級數之總和公式。
直接從題目中擷取
(2)
Answer: 求無窮等比級數,先求首項及公比,而求
公比時,可利用相似形轉換,例如求對應高之比可
轉為求對應邊之比。

ページ56:

這張圖片是關於無窮等比數列與無窮等
比級數的斂散性判斷。 主要內容如下:
• 無窮數列 <an>00 的斂散條件:
n=1
。當||< 1時,數列收斂至0。
當r=1時,數列收斂至a」。
o ○ 當||> 1 或r=−1時,數列發散。
無窮級數 4„的斂散條件:
n=1
aj
○當|r|<1時,級數收斂,其和為
1-r
o 當 || ≥1時,級數發散,其和不存在。
注意:公比r=1時,數列收斂但級數發散。

ページ57:

這段文字總結 求解一元二次方程式的根以及複數
n次方根的一般方法[].
一元二次方程式 ax²+bx+c=0的根為
-b+α
[].
2a
複數 a 的 n 次方根有個解[].
利用極坐標表示法,若Z”=r(cos 0 + isin 0),
則其個根為
1
2k元+8
2k元+0.
Zk = rī (cos
+isin
-) [].
n
n
這些根均勻分佈在一個以原點為圓心、半徑為
1
rn 的圓上, 形成一個正 n 邊形[].

ページ58:

(3)若<an>,已知為收斂,則
lim an+1
= lim an
=
lim an-1⇒
由
n-∞
n-∞
N→8
此性質從一些遞迴關係式,令
liman = a, 立刻求出@之方程式進而
n→8
迅速求出a。
Answer: 正確
Explanation:
如果一個數列 <an>' 收斂到極限 x, 即
n=1
lima = x, 那麼後續項的極限也必須是同一個值,
an
n-X
即liman+1 = a。這個性質允許在處理遞迴關係
n-x
式(例如an+1 =
f(a))時,通過令 n → 0∞ 並將所
有 an 和 an+1 替換為 a, 得到一個關於 x 的方程式
(a = f(a)), 從而求解極限值 a。

ページ59:

9.夾擊原理
Answer: 夾擠定理(Squeeze Theorem)
夾擊原理(或稱夾擠定理、三明治定
理)是數學中用來求函數極限的重要定
理。
(1) 設 k≥ 0,且每一個大於k之自然數n, 均
使 br ≤ an ≤ C 成立。 若
lim b₂ = lim cɲ
Cn
= L,則 lim a = L。
b.
n
n
(2) 求lim a, 時,設法找到無窮數列
n-X
使 時,bn
< bn >, < cn > › ‹₹ n > k §¾ › b₂ < an ≤ cn
Cn
成立,且 limb,
=
lim c = a,則
n
n-∞
n→X
°
lim_an = a。
n→∞

ページ60:

y = f(x),x ∈ A。
(3)定義域、值域
Answer: 值域
Explanation:
函數 y = f(x) 之x為集合A之元素,則A為f之
定義域。 若 a∈A,則a 對 f(x) 之對應值
f(a),叫a之函數值,一切函數值所成之集合,叫
f之值域,以 f(A) 表示,即
f(A) = {f(a)|a ∈ A}。
(4)未註明定義域之函數
Answer: 定義域
Explanation:
當一函數f,未註明定義域,規定以使 f(x)有意
義之一切元素之集合為定義域。
20°C時,音速為346公尺/秒
Ans 音速為346公尺/秒
Explanation:
在20℃時,音速為346公尺/秒。

ページ61:

(2) 若 <an>2 為增數列且有上界,則
n=1
<an>02 為收斂;若<an>,為減
n=1
n=1
®
數列且有下界,則 <a>001為收斂。
an n=
Answer: 正確
Explanation:
這是單調收斂定理(Monotone Convergence
Theorem)的定義。 如果一個實數數列是單調增加
(或減少) 且有界(有上界或下界), 則該數列必然收斂
到一個有限的實數極限。
(3)若<an>
已知為收斂,則
n=1
lim an+1 = an
lim a = lim an−1 ⇒ 由
n-∞
N→X
n-x
此性質從一些遞迴關係式,令
lim a = a, 立刻求出@之方程式進而
n→8
迅速求出 a。
Answer: 正確
Explanation:
如果一個數列 <a>,收斂到極限 x, 即
n=1
liman = x, 那麼後續項的極限也必須是同一個值,
n-8

ページ62:

10. 極限值之預測及其他常識
(1)設<a>00及<br
>
n=1
若 an < b, 則 lim ar ≤ lim br
為收斂,
n=1
bn
N→∞
n-∞
Answer: 正確
等號成立是可能的,例如,設 a
Explanation:
根據極限的性質,如果對於所有 n, 數列滿足
an < b",則它們的極限滿足 lim an ≤ lim b
n-x
1
1 且
-
-
n
n-∞
an
=
n
b, = 1 +
,
則對於所有 n≥ 1, a, < b, 但
n
lim an
= 1 ♬ lim b₂ = 1, FFLX
b.
所以
n
n→∞
lim an
N-X
n-x
=
lim b.
n
。
n-∞

ページ63:

10.正切函數
Answer 正切函數的定義域為
TT
{x|x ≠ nt + ; ; n ∈ Z}
-
2
,
正切函數 f(x) =tanx的定義域是所有使
cos x ≠ 0 的 x 值。 由於 cos x 在
TT
x = nt + (其中n 為任意整數)時為零,因此
-
2
正切函數的定義域排除了這些值。 通常以 tan 表
示正切函數
。

ページ64:

函數俣經的說明
相等函數: 兩函數 f, g 之定義域相同,且對應
定義域 A 之每一元素 x恆有 f(x)=g(x),則
稱此二函數相同,以f=g表示。
函數模型:依據 f(x)的型式給予不同名稱,例
如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數
正弦函數、餘弦函數等。
多項函數: f(x)為一多項式,則y = f(x) 為一
多項函數,包含常數函數、一次函數、二次函
數、n 次函數。
其他函數:包括以a為底之指數函數
f(x) = a*、以 a為底之對數函數
f(x) = loga x (1≠a>0)、正弦函數
f(x) = sin x、餘弦函數 f(x) = COS X。

ページ65:

1.函數及其定義域、值域
(1)函數
Answer: y是x之函數
Explanation:當y值隨x而變,且每一個x恰有一對
應之y時,則稱y是x之函數
。 @
(2)用集合對應來介紹函數
Answer: 函數
Explanation: 設A與B為兩集合,若A與
B的元素間有一個對應關係滿足以下兩條
件:
@
• A中每個元素在B中都有一個對應元素。
• A中每個元素在B中的對應元素都只有一個。
則這個對應關係稱為是由A到B的一個函數,以符號
f:A → B 表示,或寫成
y = f(x), x ∈A。 @

ページ66:

1.函數之圖形
Answer: 函數圖形
為了清楚展示函數y=f(x)的變化情況,通常會
將點(a,f(a))標記在坐標平面上,以便立即觀察
x與 f(x)之間的變化關係。 像這樣的集合
S = {(a, f(a))|a∈A} 就被稱為 y = f(x),
x∈A的函數圖形。

ページ67:

映成函數(蓋射)、一對一函數(嵌射),以及合
成函數。
映成函數(蓋射):函數f:A→B中,若值
域f(A)等於對應域B,即B中每個元素都是
某個 A 中元素的函數值。
一對一函數(嵌射):函數f: A→B中,若
A 中任意兩個不同的元素 x1,x2 具有不同的函
xı,
數值 f(x) ≠ f(x2)。
• 對函數:一個函數若同時具備一對一(嵌射)
與映成(蓋射)的性質。
合成函數:給定函數f: D→ R和
g: D2 → R,若f的值域包含於g的定義域
(f(D)CD),則合成函數gf定義為
(go f(x) = g(f(x)),其定義域為D」。

ページ68:

6. 奇函數與偶函數定義
Answer:偶函數的圖形對y 軸對稱,滿足
f(-x) = f(x);奇函數的圖形對原點對稱,滿足
f(-x) = -f(x)
解釋
偶函數(Even Function):
o 圖形具有對稱於y軸的性質。
○ 函數關係滿足 f(-x)=f(x)。
o 例如:f(x) = cos x, f(x) = x²
f(x) = x+ + 1 。
奇函數(Odd Function):
○ 圖形具有對稱於 原點的性質。
○ 函數關係滿足 f(-x)=-f(x)。
o 例如: f(x) = sinx, f(x) = x3
f(x) = x3− x。
,

ページ69:

2. 已知極限值,求係數
(1)
Ans:約去 x - c, 再代入 x = c, 求其極限值。
Explanation:
當 lim
f(x)
x−c X − C
-
A 存在且 A 為實數時,表示分子
f(x)趨近於0。 因此,我們可以推導出
lim f(x) = lim
X-C
f(x)
-(x-c)=A(c-c)=0。
X-C X
-
C
這意味著 f(c) = 0,即 (x-c)是 f(x)的因式。
在計算極限時,可以利用消去法將公因式(x - c)
約去,然後再代入x=c來求極限值。
(2)
Answer: 同次,領導係數之比為 A。
Explanation:
當 lim
g(x)
x→00 f(x)
= A (其中 A 為非零常數)存在時,
表示多項式 f(x)和g(x)必須具有相同的最高次
數。 此極限值 A即為g(x)的領導係數與f(x)的
領導係數之比。

ページ70:

• 定義與記號:當x趨近於定值a時,若 f(x)
趨近或等於定數 A,則稱為 f(x) 在 x = a 的
極限,記作 lim f(x) = A。
x→a
求法:一般方法是將x=a直接代入 f(x) 觀察
結果。
0
不定型:若代入後出現
-
0
818
或
0.c∞ 等不定型,需進一步變化 f(x)來化簡。
性質:若 lim f(x) = Alim g(x) = B 均存
x→a
x→a
在,則極限可以進行加減乘除運算(除法需
B ≠ 0)
。

ページ71:

2. 遞增與遞減定義
Answer: 遞增、遞減、嚴格遞增、嚴格遞減函數的
定義
設f之定義域為[a,b]={x[a≤ x ≤ b},
x1,x2 ∈ [a,b]。
(1) 遞增函數:若x<x2恆有f(x) ≤ f(x2),則
稱f為遞增函數。
(2) 遞減函數: 若x<x2恆有 f(x) ≥ f(x2),則
稱 f為遞減函數。
(3) 嚴格遞增函數:若x<x,恆有
f(x1)<f(x2),則稱為嚴格遞增函數。
(4) 嚴格遞減函數: 若x<x2 恆有
f(x)> f(x2),則稱為嚴格遞減函數。

ページ72:

(2) 函數 f在開區間(a,b)為連續函數
Answer: 函數 f在開區間 (a,b)為連續函數的定
義
若對於開區間 (a, b) 內的每一個點 x),函數 f 在
X) 處都連續,則稱 f 在此開區間為連續函
數。
(3)函數f在閉區間 [a,b]為連續函數
Answer: 函數 f 在閉區間 [a,b]為連續函數的定
義
函數 f(x)在閉區間 [a,b] 連續的意義
是:
• f(x)在開區間(a,b)連續。
• 對端點滿足 lim f(x) = f(a)。
x→a+
對端點滿足 lim f(x) = f(b)。
x→b-

ページ73:

(2)極限值存在條件
Answer: (2)極限值存在條件
若 lim f(x)=a,lim f(x) = p。
x→ a+
x→a¯
當 a = ß 時, 則 lim f(x)存在且其值為 a。
x→a
(3)極限值不存在條件
Answer: (3)極限值不存在條件
若 lim f(x)不存在或lim f(x) 不存在,則
x→a¯
x→ a+
lim f(x)不存在。
x→a
極限不存在有三種情況:極限為無窮大、左右極
限不相等、或沒有確定的函數值。

ページ74:

3. 左極限與右極限及極限值之存在問題
(1)左極限、右極限
Answer: (1)左極限、右極限的定義與求
法
右極限(Right-hand limit):
o 若 x > a, 且x趨近a時,f(x)之值會趨近
α °
○ 則以 lim f(x)=a表示,且稱 f(x)在
x→a+
x=a 的右極限為 a。
左極限(Left-hand limit):
o 若 x < a, 且x趨近a 時, f(x)之值會趨近
則以 lim f(x) = 阝 表示, 且稱 f(x)在
x→a¯
x=a的左極限為B。
求法:求絕對值函數、高斯函數之極限值常用左
極限、右極限求之。
• 存在性:若 lim f(x) ≠ lim f(x),則lim f(x)
x→a+
不存在。
x→a¯
x→a

ページ75:

勘根定理(Bolzano's Theorem)
Step 1: 解釋勘根定理(Explain
Bolzano's Theorem)
Answer: 勘根定理(Bolzano's Theorem),又稱零
點定理,是中間值定理的一個重要推論。它指出,
設y = f(x)在閉區間 [a,b]間為連續函數,若
f(a) 和 f(b) 異號(即 f(a)f(b) < 0)
,
則至少存
在一個 c 使得 a ≤ c ≤ b 且 f(c)=0。這表示函
數圖形在 x=a到x=b之間至少會與x軸相交
一次,即至少有一個實根。

ページ76:

1. 連續函數
(1) 函數 f 在點c處連續
44
經續的條件
函數f 在點c處連續必須滿足以下三個
條件:
• 在x=c處有定義(即 f(c) 有意義)
lim f(x) 存在。
X→C
lim f(x) = f(c)。
X→C
若上述任一條件不滿足,則稱f在c點
處不連續。 不連續可能的情形包
括:
在點c處,f(c) 沒有定義。
lim f(x) 不存在(例如左、右極限不同)
X→ C
lim f(x) ≠ f(c)。
X→ C
。

ページ77:

該註解說明了函數y=f(x)的n階導
函數有以下幾種表示方式:
y(n)
f(n)(x)
dny
dxn
dn
dxn
f(x)
這些符號都是微積分中用來表示函數進行n次微分
後的結果。

ページ78:

2.導函數(Derivative Function)
(1)定義(Definition)
Answer: 導函數 f'(x)是計算函數 f(x)在任意點
x處的導數的規則公式。
Explanation
設 f(x) 為一函數,若對於 f(x)定義域中的任一
點a,其導數恰為f'(a),則稱f'(x)為f(x)的
導函數。 求某一點a的導數時,只需將a代入
f'(x)即可。
一般而言,導函數的定義為:
f(x+h)-f(x)
h→0
h
f'(x) = lim

ページ79:

(2) 記號(Notation)
df(x)
Answer: 函數 f(x)的導函數通常表示為
或
dx
d.f(x)
f'(x);在 x = a 處的導數表示為
dx
|x=a 或
f'(a)。
Explanat
除了上述記號,若y=f(x),其導函數還可表示為
y
、
dy df
dx dx
等。
。

ページ80:

6. 奇函數與偶函數定義
Answer:偶函數的圖形對y 軸對稱,滿足
f(-x) = f(x);奇函數的圖形對原點對稱,滿足
f(-x) = -f(x)
解釋
偶函數(Even Function):
o 圖形具有對稱於y軸的性質。
○ 函數關係滿足 f(-x)=f(x)。
o 例如:f(x) = cos x, f(x) = x²
f(x) = x+ + 1 。
奇函數(Odd Function):
○ 圖形具有對稱於 原點的性質。
○ 函數關係滿足 f(-x)=-f(x)。
o 例如: f(x) = sinx, f(x) = x3
f(x) = x3− x。
,

ページ81:

(3) (f ± g)' = f' + g', (cf)' = cf'
f'g-fg'
($C$為常數), ([y = 5'8-1g
g
(ƒ · g)′ = ƒ'g + fg',
(f(g))' = f'(g). g'
g2
Answer:這些是基本的微分運算法則,包
括和差法則、常數積法則、商法則、積
法則以及鏈鎖律。
和差法則: 兩個函數和或差的導函數等於它們各
自導函數的和或差。
● 常數法則:常數與函數乘積的導函數等於常數
乘以函數的導函數。
商法則: 兩個函數商的導函數公式如上所示。
積法則: 兩個函數積的導函數公式如上所示。
鏈鎖律:複合函數f(g(x))的導函數為外層函數
f在 g(x)處的導函數乘以內層函數 g 的導函
數。
。

ページ82:

(4)由導函數求導數:可微時,求出
f'(x) ⇒ 以x=a代入f'(x)(求出
f'(a))。
Answer: 這是計算特定點導數的步驟。
計算特定點導數:要計算函數在某一點 x=a的
導數 f'(a), 首先需要找到該函數的導函數 f'(x)
(如前幾項所述),然後將特定的數值a代入
f'(x)中即可得到結果。

ページ83:

可微分性:函數在某點有導數時稱為可微分;若
在定義域內每一點都可微分,則稱為可微分函
數。
dx"
基本微分公式: =r xr-1(其中 r ∈ R),
(±rЄR),
dx
dc
=0(c為常數)。
dx
四則運算:介紹了函數加減、常數乘積、乘法(積
法則:(fg)' = f'g +fg'),及除法(商法則:
d (f(x)) =
g(x)f'(x) - f(x)g'(x),
-)的微分
dxg(x)
(g(x))2
公式。
應用: 將函數 f(x) 求導函數 f'(x) 的計算過程
稱為微分。

ページ84:

(2)
+ aqx+aq⇒ f'(x) = nanx+1 + (
Answer:這是多項式函數的微分法則。
多項式微分法則:多項式函數的導函數可以通過
對每一項應用冪函數微分法則,並利用和差法則
(如下所述)求得。 每一項的係數乘以原指數,新
指數減1。 常數項 a) 的導函數為0.

ページ85:

(2)
-1
+(n-1)an-1X' +
-2
+2a2x+
Answer: 這是多項式函數的微分法則。
● 多項式微分法則:多項式函數的導函數可以通過
對每一項應用冪函數微分法則,並利用和差法則
(如下所述)求得。 每一項的係數乘以原指數,新
指數減1。 常數項 a) 的導函數為 O。

ページ86:

(2)
+ (n − 1)an−1x' +
• .
+2a2x + a1
-2
Answer: 這是多項式函數的微分法則。
多項式微分法則:多項式函數的導函數可以通過
對每一項應用冪函數微分法則,並利用和差法則
(如下所述)求得。 每一項的係數乘以原指數,新
指數減1。 常數項 a) 的導函數為0。

ページ87:

除法法則:
(2)
f'g - fg'
g2
g
KÆRU: (ƒ")' = nƒ^−1 ƒ' t
d
dx
f(x)" = nf(x)"−¹ f'(x)
連鎖法則:
d
dg(y)
df(x)
.
· ((g ⋅ f)(x)) =
dx
dy
ly=f(x)"
或
dx
(g • ƒ)′(x) = g′(f(x))ƒ′(x)
。

ページ88:

(1) f(x) = ax" ⇒ f'(x)=nax^-1;
(f(x)")' = nf(x)^='f'(x)
這兩個公式分別是冪函數微分
法則與廣義冪函數微分法則。
冪函數微分法則:對於f(x)=ax”, 其導函數
f'(x) 為指數 n 乘以係數 a, 再將指數減1, 即
f'(x) = nax'
= nax”-1 。
廣義冪函數微分法則(鏈鎖律的應用):對於一個
函數的n次方(f(x)”),其導函數為2乘以函數
的(n-1)次方,再乘以函數本身的導函數
f'(x)。

ページ89:

(2)
f(x) = anx” + an−1x" +
•
+a₁x +
Answer: 這是多項式函數的微分法則。
多項式微分法則:多項式函數的導函數可以通過
對每一項應用冪函數微分法則,並利用和差法則
(如下所述)求得。 每一項的係數乘以原指數,新
指數減1。 常數項 a) 的導函數為0.
°

ページ90:

多項式導函數公式:給定多項式
n
f(x) = > qxx*,其導函數為
k=0
n
f'(x) = 2 kakxk-1
。
k=1
相等多項式性質:兩個相等的多項式,它們的導
函數仍然相等。
泰勒展開式:函數f(x)在x=a附近的展開式
為
f" (a)
2!
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)+ (x-a)?
因式性質:如果(x-a)” 是 f(x)的因式,則
f(a) = f'(a) = ... = f(n-1)(a) = 0。
|

ページ91:

(2)導數之正負及遞增、遞減
Answer: 嚴格遞增函數、嚴格遞減函
數、水平切線
• 若f'(a) > 0,則在a附近x-a與
f(x)-f(a)爲同號,即y = f(x)在附近為嚴
格遞增函數。
若 f'(a) < 0,則在a附近x-a與
f(x)-f(a)爲異號,即y=f(x)在附近爲嚴
格遞減函數。
若 f'(a) = 0,指 y = f(x) 在 (a, f(a)) 處有水
平切線。
(3)相對極大、極小之處
Answer: 極小值、極大值
©
若 f'(a) = 0 且 f'(a)<0,f'(at) > 0,則
f(x) 在 x = a 處有極小值爲 f(a)。
若 f'(a) = 0 且 f'(a)>0,f'(at)<0,則
f(x)在x = a處有極大值爲 f(a)。

ページ92:

5. 切線、法線及瞬間變率
(1)切線斜率與方程式
Answer,切線斜率為f'(x));切線方程式為
y-f(x) = f'(xo)(x-x0) 或
y = f(x0) + f'(x0)(x — Xo)
-
函數 y = f(x) 在點 (xy, f(x)) 處的切線斜率
定義為該點的導數 f'(xo)。
利用點斜式,可得出切線方程式為
y- f(x) = f'(xo)(x - xo)。
(2)法線斜率與方程式
Wer:法線斜率為
y-f(x):
=
1
f'(x0'
法線垂直於切線。
1
-
;法線方程式為
f'(x0)
(x - xo)
• 兩垂直直線的斜率乘積為-1,因此法線斜率為
切線斜率的負倒數,即
1
。
f'(xo)

ページ93:

(3) 瞬間變率
Answer: f'(a)表示f(t)在x=a時的瞬時速
度;g'(a) 表示 g(t) 在 x = a 時的瞬時加速
度;h'(a) 表示 h(x) 在 x = a 附近的瞬時變率
導數的幾何意義是切線斜率,物理意義則是瞬間
變化率,例如瞬時速度或加速度。
若 f(x) 為位移函數,其導數 f'(a) 表示在
x=a時的瞬時速度。
若 g(x) 為速度函數,其導數 g'(a) 表示在
x=a時的瞬時加速度。
對於一般函數 h(x),其導數h'(a) 表示在
x=a處的瞬間變化率。

ページ94:

1. 凹口向上或凹口向下概念
Answer:凹口向上(concave up), 凹口向下
(concave down)
解釋:
對於可微分函數f(x),想像動點P 沿著曲線
y = f(x)向右移動。
若在點 (a, f(a)) 附近,P 點的移動方向保持
「左轉彎」,則稱 f(x)在x=a處凹口向上。
若在點(a, f(a))附近,P點的移動方向保持
「右轉彎」
,
則稱 f(x) 在 x=a處凹口向下。
從另一個角度看,若曲線上相近兩點的連線
(弦)在圖形上方,則為凹口向上;若弦在圖形
下方,則為凹口向下。

ページ95:

1. 遞增與遞減及導數之正負
(1) 遞增、遞減定義之回顧
Answer 遞增函數、遞減函數、嚴格遞
增函數、嚴格遞減函數
若 m > n,則 f(m) ≥ f(n),稱f在[a,b]爲
遞增函數。
若 m > n,則 f(m)≤f(n),稱 f在[a,b]爲
遞減函數。
若 m > n,則 f(m)> f(n),稱f在[a,b]爲
嚴格遞增函數。
若 m > n,則 f(m)<f(n),稱f在[a,b]爲
嚴格遞減函數。

ページ96:

3.
Answer:(a)反曲點(拐點)
Explanation:
反曲點(或稱拐點)的定義如下:
若在 a 的附近,當x<a時f(x)的凹向與當
x> a 時 f(x) 的凹向相反,則點(a,f(a))稱
為函數 f(x)的一個反曲點或拐點。
• 若f(a) = 0,則在 x=a 處有反曲點為
(a, f(a))。

ページ97:

(3) 極值之另一判斷法:(二階檢定極值法)
①
Answer: 若 f”(a)<0,則f(x)在 x = a 處有相
對極大值。
2
Answer: 若 f”(a) > 0,則 f(x) 在 x =a 處有相
對極小值。

ページ98:

1.
Answer: (a) 凹口向上
Explanation:
當 x=a 時,曲線y=f(x)的凹口向上,這表示
當質點P 沿著曲線運動時,在點(a,f(a))處會向
左轉彎。 這也意味著在(a, f(a))處的切線斜率隨
著 x 的增加而增加,即f'(x)在x=a附近是增
函數。 因此,二階導數f(a)大於零
(f" (a) > 0) °
2.
Answer: (a)凹口向下
Explanation:
當 x =a 時,凹口向下的理由與凹口向上相反。
這表示f(a)<0。

ページ99:

這張圖片是關於函數的極大、極小、最大、最小值
的數學筆記摘要,解釋了它們的定義、注意事項以
及與導數的關係。
• 最大值與最小值:在函數定義域中,若存在一點
a使 f(a) ≥ f(x)對所有x成立,則f(a)是最
大值;若存在一點bf(b)≤ f(x)對所有 x
成立,則 f(b) 是最小值。 最大、最小值至多只
有一個。
極大值與極小值:在函數定義域中非常接近的範
圍內,若存在一點c使f(c)≥ f(x)成立,則
f(c)是極大值;若存在一點d f(d) ≤ f(x)
成立,則 f(d) 是極小值。 極大值及極小值可能
不存在,也可能不唯一,且極小值可能大於極大
值。
極值與導數:若函數f(x)在x=a處有極值且
可微分,則 f'(a) = 0 (費馬定理)。
極值發生處:極值可能出現在滿足 f'(a) = 0 的
點a、函數不可微分的點,以及定義域的端點
。

ページ100:

Step 2: 判斷凹向性
若a>0:
b
o 當x>
時,f(x) > 0,圖形為凹口向
3a
|
上。
o 當x<
下。
• 若a<0:
b
時,f(x) < 0,圖形為凹口向
3a
o 當x>
b
3a
時,f(x) < 0,圖形為凹口向
下。
o 當x<
b
3a
時,f(x) > 0,圖形為凹口向
上。
Step 3: 確認反曲點為對稱中心
b
點(-
f(-
,
3a
-
b
3a
))為y=f(x)之反曲點,此點
為此三次函數圖形的對稱中心。

ページ101:

2. 極值之相關問題:(找極大、極小、最
大、最小)
(1)極值可能發生之處
Answer: 極值可能發生在可微分函數導函數為零的
點、不可微分點及定義域的端點。
Step 1: 說明
對於一個函數 f(x)而言,它的極大值與
極小值只可能出現在以下三類點:
滿足 f'(a) = 0 的點 a。
• f(x)不可微分的點。
f(x)的定義域的端點。
(2)一階檢定極值法
①
Answer: 若 f'(a) = 0 且 f'(a¯) > 0,
f'(at) < 0,則 x=a處有極大值。
②
Answer: 若 f'(a) = 0,f'(a) <0,
f'(at) > 0,則 x=a 處有極小值。

ページ102:

3. 有水平切線處之個數
Step 1: 設置 f'(x)=0
f'(x) = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0。
Step 2: 計算判別式D
判別式 D = 4b² -12ac=4(b²-3ac)。
Step 3: 判斷實根個數
若 D = 4(b² − 3ac)>0,則f'(x)=0有二相異
實根,表示有兩個具有水平切線的位置。

ページ103:

這段文字介紹了微積分學中的基本知識,特別是反
導函數(或稱不定積分)的定義、性質和符
號。
定義: 若兩函數f(x)與g(x) 滿足
g'(x) = f(x) 的關係,則稱g(x)是 f(x) 的一
個反導函數。
• 不唯一性: 反導函數不唯一,若 g(x) 是 f(x)
的反導函數,則g(x)+c(其中c為任意常
數)也是f(x)的反導函數。
• 記號: f(x)的反導函數通常以積分符號
f(x)dx 表示。

ページ104:

面積關係(Area Relationship)
Answer: 所圍成的區域中,在x軸上側的部分的面
積減去在x軸下側的部分的面積。
若 f(x) 是定義在閉區間 [a,b]上的連續函數,則
L
a
b
f(x)dx 代表 y = f(x)的圖形、直線y=0、
x = a、x = b所圍成的區域中,在x軸上側的部
分的面積減去在x軸下側的部分的面積。
圖中所示的定積分可以表示為:
d
b
L f(x)dx = (R的面積)-(
+
· [*®* f(x)dx + [°
d

ページ105:

面積關係(Area Relationship)
Answer: 所圍成的區域中,在x軸上側的部分的面
積減去在x軸下側的部分的面積。
若 f(x) 是定義在閉區間 [a,b]上的連續函數,則
L
a
b
f(x)dx 代表 y = f(x) 的圖形、直線 y=0、
x=ax=b所圍成的區域中,在x軸上側的部
分的面積減去在x軸下側的部分的面積。
圖中所示的定積分可以表示為:
qdx = (Rı的面積)-(R的面積)+(R3的面積)

ページ106:

1.微積分基本定理
Answer:微積分學之基本定理
這步
毒函數的定義以及微積分割
如果 g(x) 是 f(x)的一個反導函數,則f(x)的
不定積分為 f(x)dx
= g(x) + c。
• x”的反導函數為
1
n+1
Xn+1 + c。
微積分基本定理指出,定積分
L
b
f(x)d(x)等
a
於其反導函數在區間端點的差值,即
-
g(b) — g(a) •
万
g(b)-g(a)通常會寫成g(x)”的形式。
a

ページ107:

(5)基本常識
1. 加法
Answer:
b
L*(f(x)
(f(x) + g(x))dx =
b
[* f(x)dx + [* g(x)d
/a
L
a
2. 數積
Answer:
L°c..
b
c · f(x)dx = c •
© · [*°
L
f(x)dx
3. 分段積分
Answer:
L
·b
L
[* f(x)dx = [* f(x)dx + [* f(x)¢
a
C

ページ108:

5. 補充公式
Answer:
L
6
€ (» - 0) ² - = ›
-
(x − a)(x — ß)dx
-
a

ページ109:

面積關係(Area Relationship)
Answer 所圍成的區域中,在x軸上側的部分的面
積減去在x軸下側的部分的面積。
若 f(x) 是定義在閉區間 [a,b]上的連續函數,則
L
a
•b
f(x)dx 代表 y = f(x) 的圖形、直線 y=0、
x = a、x=b所圍成的區域中,在x軸上側的部
分的面積減去在 x 軸下側的部分的面積。
圖中所示的定積分可以表示為:
L
a
b
= [[* f(x)dx + [[* f(x)dx + [{"
d
a
C
f(x)dx =

ページ110:

不定積分(1):
fkf(x)".df(x) = k.
1
f(x)n+1 + Co
n+1
此公式說明了當被積函數可以表示為某函數
f(x) 的n次方乘以其微分 df(x)時,可以直接
套用冪次法則進行積分。
定積分(2):
b
f(x)" f'(x)dx = |¯¯¯u"
a
Love
•f(b)
1
=
n+1
u"
f(a)
n+1
此公式說明了在定積分中使用變數變換時,必須
同時將積分的上下限 a,b替換為新變數u 對應
的值 f(a),f(b)。

ページ111:

2. 分段積分
Ans er: 分段積分的性質與應用
性質(1): 說明了定積分的區間可加性,即若
a<c<b,則
•b
C
•b
L
f(x)dx。
[* f(x)dx = [[* f(x)dx + [* 50
a
a
C
應用(2): 說明了如何計算含有絕對值、最大值函
數或取整函數的積分:
/*f(x)dx可依 f(x) ≥ 0 和f(x) < 0 的
a
區間分段積分。
L
a
b
Max(f(x), g(x))dx可依 f(x) ≥ g(x)
和 f(x) < g(x)的區間分段積分。
b
f(x)dx
a
[f(x)]dx(取整函數)可依 f(x) 所在相
鄰整數區間分段積分。

ページ112:

⑤ 兩項規定(Two Regulations)
Answer: 兩項規定(Two Regulations)
屬於
L
a
a
f(x)dx=0:積分上限與下限相同時,定積分
的值為零。
a
f(x)dx
·b
=
-L
f(x)dx:交換積分的上下限
a
時,定積分的值會變號
。

ページ113:

(5)利用積分定義及圖形,證明不等式。
Answer: 證明略
此題需要具體的不等式內容才能進行證明。 一般會
利用積分代表面積的概念,比較不同函數或區間下
的面積大小。

ページ114:

4. 由定積分求極限值
Answer: 此為黎曼和(Riemann sum)的定義
此數學概念說明如何使用定積分來計算函數在閉區
間上的極限值。 黎曼和定義了函數 f(x)在閉區間
•b
[a,b]上的定積分為 f(x)dx,其等於區間被 n
a
等分後,當 n 趨近於無限大時,每個小區間上的函
數值乘以小區間寬度 Ax 的總和的極限值。 這個
概念是微積分的基本定理之一,用於建立微分與積
分之間的聯繫。

ページ115:

3. 變換變數之積分
Answer: 變換變數之積分
此圖片展示了微積分中變換變數(或稱
替換法,u-substitution)的兩個基本公
式,分別針對不定積分與定積分:
• 不定積分(1):
[ kf(x)" · df(x) = k ·
1
f(x)"+1 + C。
n+1
此公式說明了當被積函數可以表示為某函數
f(x) 的n次方乘以其微分df(x)時,可以直接
套用冪次法則進行積分。
• 定積分(2):
f(b)
[* du =
f(x)" f'(x)dx = |u'
1
.b
L
f(a)
n+1
此公式說明了在定積分中使用變數變換時,必須
同時將積分的上下限 a, b 替換為新變數u 對應
的值 f(a), f(b)。

ページ116:

1. 曲線間之面積
Answ
月如何使用定積
分計算曲線與座標軸或兩條曲線之間的
面積。
● (1)當函數 f(x)≥0在[a,b] 區間時,面積為
.
L
f(x)dx
。
(2)當函數 f(x)≤0在 [a,b]區間時,面積為
b
-L° f(x)
f(x)dx。
(3)當 f(x) ≥ g(x)在[a,b]區間時,兩函數圍
成的面積為
Lu
a
[f(x) - g(x)]dx。
● (4)若兩函數在區間內有交叉點c(即函數大小關
係改變),需分段計算面積,並將每段面積相
加
C
b
/a
Loxx
(f(x) - g(x))dx +
L (g(x
(g(x) = f(x))dx °
-
(5)對於複雜函數圖形與x 軸圍成的總面積,也
需要根據函數正負號分段計算絕對值面積的總
和。

ページ117:

5. 反導函數之微分及其他
(1)反導函數之微分
Answer:
d
x
S
f(t)d t = f(x)
dx a
根據微積分基本定理,定積分對上限的微分會等於
被積函數在該點的值
。
(2)積分與極限
Answer: lim
x
1
x→a X- a
a
f(t)d t = f(a)
x
此為導數的定義,其中
L
f(t)d t 是 F(x),且
a
F'(a) = f(a)。

ページ118:

(3) 複合函數的積分微分
Answer:
d
*g(x)
f(t)dt = f(g(x)) · g'(x) − f(h(x)) · h'(x
-
dx
根據微積分基本定理和鏈式法則,將積分拆成兩部
分後分別微分。
(4)偶函數與奇函數的定積分
f(x)為偶函數: Answer:
a
a
L* {"
-a
f(x)d t = 2
f(x)dx
ra
f(x)為奇函數:Answer:
L f(x)
f(x)dx = 0
-a
偶函數圖形對稱於y 軸,奇函數圖形對稱於原點,
。

ページ119:

位移計算:質點在直線運動中,速度函數 V(x)
b
在x=a到x=b秒的位移為
L
V(x)dx 公
a
尺。
等加速度運動:若加速度a為常數,初速度
Vo,起始位置 So,則t秒時的速度
V(t) = V%+at,位置
S(t) = So + Vot +
1
。
2
作功計算:質點在 x 軸上受力 f(x),從 x = a
•b
移動到 x = b 所需的功
/a
f(x)dx。
單位註釋:1牛頓約等於9.8xf公斤;1焦耳
之功等於f(牛頓)·S(公尺)。

ページ120:

(3)繞y軸旋轉所得之體積
rd
x = g(y) ≥ 0 在y∈[cd]中連續,則其繞y軸
旋轉所得之體積為
[ª
z[g(y)]²dy (圓盤法)。
C
(4)繞y軸旋轉所得體積(圓柱殼法)
An
Ja
y = f(x),x ∈ [a,b]與x軸所圍區域繞y軸旋轉
所得體積為
法)。
L
a
b
2axf(x)dx(圓柱殼法)/(殼層

ページ121:

(1)立體之體積:
rb
Answer
100dx
設有一個立體 S位於平面x=a與x=b(a < b)
之間,若多項式函數 A(x) 為垂直 x 軸於 (x, 0, 0)
的平面截 S 所成截面的面積,則立體的體積等
於
L
b
A(x)dx
。
a
(2)繞x軸旋轉所得之體積
lower.
rb
y = f(x) ≥ 0 在x ∈ [a,b]中連續,則其繞 x 軸
b
旋轉所得之體積為
[º •
n(f(x))²dx (圓盤法)
a

ページ122:

1. 平面之法線及法向量
Answer: 平面之法線是垂直一平面之直線;平面之
法向量是平行法線之方向向量
平面之法線定義為垂直一平面的直線。 平面之法向
量則是該法線的方向向量,其實平行於法線的任一
向量,都可稱為平面的法向量。
2. 平面之方程式
Answer: ax + by + cz + d = 0
• 意義:一平面上任一點 P(x,y,z)所滿足的關係
式ax+by+ cz+d=0,稱為該平面E之方
程式。
求法:
○ 點法式:過點 Po(xo, yo, Zo)且法向量為
(a,b,c) 的平面方程式為
a(x − x0) + b(y − yo) + c(z − zo) = 0, ₪J
整理成一般式。
○ 共面式:若平面 E 過點A(xo, Yo, Zo)且有
兩個平行向量 及 疚,利用ĀP、巧、店
共面條件 ĀP. (× 疡) = 0 可得方程式。

ページ123:

• 向量法:使用點積
-
(x-xo, y yo, Z — Zo) · (V1 × V₂) = 0
式表示。
x
截距式:
-
a
+
y
20
b
+
皆不為零的平面。
Z
-
C
=
1,適用於 x, y, z 截距
• 一般式:ax + by + cz + d = 0,其中
a² + b² + c² ≠ 0。
平面族: 通過兩平面E,E交線的平面方程式
可設為kE+IEz=0。

ページ124:

• 外積定義:給定兩非零向量ā和b,它們的外
積äxb是一個同時垂直於7和6的公垂向
量,其座標表示式為
a2 az
a3
a3 ay
1
a2
。
,
,
b2
b2 b3
b3 b₁ b1
平行六面體體積:由三向量ã、6、ㄛ所張成的
平行六面體體積 V 可由純量三重積的絕對值計
算,即
|V(a, b, c)| = |(à × b) · ĉ| = |ã · (b × c)| •
·
四面體體積:以原點O 及A、B、C 三點形成的
四面體O-ABC 體積為平行六面體體積的六分之
,
E = |(ā × b). ¿| °
。
• 共面條件:若O、A、B、C四點共面,則表示
→>
三向量 ã、b、ë共平面,此時它們所張成的平
行六面體體積為零,即(xb)=0。

ページ125:

(2)體積公式及共面
• 平行六面體體積:由三個向量OA,OB, OC 所
張成的平行六面體體積V 等於這三個向量組成
的行列式的絕對值,即
a1 a2 a3
|b1
V = | det b₁ b₂ b3||°
C1 C2
C3
四面體體積: O-ABC 四面體的體積為平行六面
體體積的六分之一,即
a1 a2 a3
V==| det b₁ b₂
|
。
C2 C3
共面條件:若三個向量共面,則它們張成的體積
為零,即行列式值為零。
。

ページ126:

重點2 三階行列式及應用
AD
MILF
L
(1)行列式性質
• 計算簡化:允許將某一行(列)的倍數加到另一行
(列),值不變,有助於創建零元素。
符號變換: 對調任意兩行(列)會改變行列式的正
負號。
零值條件:如果有兩行(列)成比例,或者某一行
(列)所有元素皆為零,則行列式的值為零。
因數提出:允許從整行或整列提取公因數。
降階運算:可透過特定方法(如薩流斯定律或餘
因子展開)進行降階拆解計算。

ページ127:

向量外積:āxb是一個同時垂直於 ā 和 b 的向
量,其分量由二階行列式組成。
體積公式: 平行六面體體積 V= |(ãxb).武;
四面體體積 V= ÷ l(āxb).q
6
共面條件:四點共平面或三向量共面時,其體積
為零,即對應的三階行列式等於0。
3
三線共點: 判斷三條直線 Lı, L¬, L 是否共點,
可檢查其係數與常數項組成的三階行列式是否為

ページ128:

• 外積定義:給定兩非零向量ä和b,它們的外
積äxb是一個同時垂直於7和6的公垂向
量,其座標表示式為
a 1
b2
(222222).
a
怡
b3 b3
,
,
平行六面體體積:由三向量 ā、五、ㄛ所張成的
平行六面體體積 V 可由純量三重積的絕對值計
算,即
|V(a, b, c)| = |(ã × b) · ĉ| = |ã · (b × c)| •
四面體體積:以原點O 及A、B、C三點形成的
四面體O-ABC 體積為平行六面體體積的六分之
,
即÷l(āxb).q
。
共面條件:若O、A、B、C 四點共面,則表示
三向量 ã、b、ë共平面,此時它們所張成的平
行六面體體積為零,即(āxb).ㄛ=0。

ページ129:

6. 行列式之應用
Answer 利用行列式有助於一些數學公式的記憶
這張圖片是關於行列式在數學中的應
用,特別是計算三角形面積。
。
• 兩向量形成的三角形面積:給定 OA = (x1,Y1)
和 OB = (x2,y2),△OAB 面積為
1
x1
y1
X1
||
||
。
X2 Y2
三點形成的三角形面積:給定A(X1,Y1)、
B(X2,Y2)、C(x3, 3),△ABC面積為
y₁
1x2-x1
XXX
12 - 1
1
||
=
|||x2
y2
1
2
|x3
y3
|X3 − x1 13 - 1
三點共線條件:A,B,C共線的條件是
|x2-x1 y2-yi
V2
= 0 或
|x3 − x1
-
V3 - Y1
x1 y1
1x2 Y2
1| = 0。
|x3 y3
1

ページ130:

(5)兩列(行)成比例,其值為O
Answer: 兩列(行)成比例時,其值為O
當行列式中有兩行或兩列的元素對應成比例時,該
行列式的值為零。 例如影像中的第一個例子,第一
3
行 2
與第三行 6 成比例(比例為1:3)
,
(²)
5
因此行列式的值為0。
15
(6) 行列式可就某行(列)拆成二行列式之
和
Answer: 可以
行列式可以沿著任一行(列)拆解成兩個或多個行
列式的總和,只要該行(列)的元素是兩個數的
和。

ページ131:

(7)將一列(行)的k倍加到另一列(行),其值
不變
Answer: 不變
將行列式中某一列(行)的k倍加到另一列(行)
時,行列式的值保持不變。 這是行列式的一個重要
性質,常用於簡化計算。
(8)直接降成二階
Answer: 設 a≠0時可降為二階
如影像所示,當首項元素 a≠0 時,三階行列式
可以通過特定的代數運算(如將第一列的倍數加到
其他列)轉換為一個二階行列式來計算其值,公式
為:
det A
=
1 [a1b2-a2b1a1c2-a2c1
a2b₁
-
aa1b3a3b1a1c3a3c1

ページ132:

4.三階行列式
Anst 三階行列式的定義、記法及性質
(third.
意義與計算:定義了三階行列式的值為
-
-
a2b3c1 + a3c2b1 − c₁b₂α3 − c¿b¸α₁ — c¸ɑ2b₁ °
記法:展示了使用行列式符號
$\begin{smallmatrivia
pd_izr&b_{2}{
a_{3}&b_{ } v_i3}\end{
37
DA
us rate) AUTOALA
性質:將行列式與向量的外積和內積結合,說明
了△=ā.(bx)等價關係,並列出了其循環
對稱性和反對稱性。
展開式:提供了按第一列展開的餘因子展開式,
即

ページ133:

5. 行列式之性質
(1) 行列式可依某一列(行)展開
Answor
聖圖片中的展開
(2)轉置行列式
Answer: 其值不變
(3)任意兩列(行)對調,其值變號
Answer: 其值
(4)任一列(行)可提出同一數
Answer: 可提出同一數

ページ134:

3. 平行六面體之體積及共面
(1)平行六面體之體積
Answer: 由不共平面的三個向量ä、b、ë 所展成
的平行六面體的體積 V 為 V= |ă. (bxë)
Explanation:
體積 V 是由三個向量 ä、b、ë的純量三重積的
絕對值決定。
• 純量三重積可以表示為
ā · (b × c) = b · (c × ā) = è · (ā × b) ·
體積也可以用行列式表示為
ax
av
az
V = | det(a, b, c)| = ||bx by b₂||
| det(a,b,c)|
。
Cx
Cy
C7
Z

ページ135:

(2)共面條件
Answer:若三個向量ä、b、ë 共面,則體積為O,
即純量三重積ä.(bx)=0
Explanation:
當三個向量共面時,它們無法構成一個具有高度
的平行六面體
O
● 體積為零意味著純量三重積的結果為零。
• 這也表示b.(ëxa)=0且ë (āxb)=0。

ページ136:

Answer: 三階行列式的定義、記法及性質
這張圖片是關於三階行列式(third-
order determinant)的數學教材,主要
包含以下幾個概念:
• 意義與計算:定義了三階行列式的值為
a₁b2c3 + a2b3c₁ + α3c2b₁ − c₁b₂α3 - c2b3α1
。

ページ137:

Answer:空間向量外積的定義與性質
此頁筆記詳細說明
外積定義: 給定兩個非零向量ã=(a1,a2,a3.
和万=(by,b2,b3),其外積ãxb是一個新向
量,計算方式為
->
(a2b3-a3b2,a3bj-abs,a1b2-a2b1)。
• 性質: 若任一向量為零向量或兩向量平行(共
線) 則外積為零向量ò。
,
性質②: 外積向量äxb會同時垂直於ā 向量與
6向量。
性質③: 外積不滿足交換律,而是滿足反交換
律:āxb=-(bxā)。
性質④: 外積對向量加法滿足分配
律:āx(b+c)=āxb+āxㄛ。
性質⑤: 標量乘法與外積的結合
律:(kā)xb=āx(kb)=k(āxb)。
4443
Let

ページ138:

2. 外積之大小之幾何意義
Step 1: 解釋外積大小的幾何意義
兩個非零非平行向量ā與b的外積長度丨ãx等
於由這兩個向量所展成的平行四邊形面積。
@
Step 2: 解釋共線條件
若三個點 O、A、B 共線,則由 OA 與 OB 展成
的三角形面積為零,進而導致它們的外積為零向量
OA×OB=0。這表示存在不全為零的實數k,l
使得 kOA = IOB,即兩個向量平行。
Answer.
外積大小的幾何意義為由兩向量展成的平行四邊形
面積。 若三點共線,則外積為零向量。

ページ139:

1. 投影量、分向量與投影長度
Answer: (1)①在6之投影量(分量)為
|ā| cos 0 =
→
ã.b
→>>>
|b|
(表實數);②在6之分向量(投影)
(正射影)為 (|ä| cos)
b
|b|
=
ã.b
|6|2
ä在6之投影之長為 ||äl cos |= |
b(表向量);③
負之實數)。(2)ĀB 在 AC 之投影長
ã.b
→>
|b|
(表非
AB. AC
¤ = ||AB| cos 0| = |
|, 則 B到AC之
|AC|
-2
距離 d = VAB - (2。(3)或由△ABC 面積,
2△ABC
d
=
O
AC

ページ140:

1. 空間向量之外積
Answer: 空間向量之外積
(1)外積定義:
設ā= (a1,a2,a3),b=(b,b2,b3)為兩個非零向
量,則定義 āxb為一個新向量,此向量為
(a2b3-a3b2a3b-a1b3a1b2-a2b1)。
(2)性質:
①若ā=0或6=õ或kā = lb(k,l∈ R),則
äxh= (0,0,0)=0。
②
ā.(āxb)=0⇒(āxb)⊥ā
© { b⋅ (à × b) = 0 ⇒ (ā× b) ≤ b .. ā× b
同時垂直ã,ō之一向量
③āxb=-bx)
④āxb+)=āxb+àxë
⑤ (aā) × b = ā× (ab) = a(ã× b)

ページ141:

(1) 向量 ä 在非零向量 b 上的投影量是一個實
數,表示投影的「長度」或「分量」,其公式為
|a| cos 0
a. b
。
->
|b|
(1) 向量 ä在非零向量b上的分向量(正射影)
是一個與6方向相同的向量,其大小為投影
量,方向為單位向量
(lälcose)
万
-
,
故公式為
|b|
b a.b
或
|b| 1612
b
。
(1)投影之長為投影量的絕對值,確保其為非負
實數。
(2)與(3) 說明如何利用投影長度/或三角形面
積計算點 B 到直線 AC 的垂直距離d。

ページ142:

分向量(投影/正射影):這是一個向量。 它表
示一個向量 AB 在另一條直線 CD 上的正射
影,結果是平行於CD 的另一個向量 A'B'。
• 投影量(分量):這是一個實數。 它表示向量
ã在向量 b方向上的帶符號長度,計算公式為
a. b
|a| cos 0 =
|b|
。
投影長:這是一個非負實數。它表示投影量的
AB. AC
絕對值,即
|。 它也可以用來計算點
|AC|
-2
B 到直線 AC 的距離d=VAB-12。
重點提示:分量是實數,分向量是向量,投影長
是非負實數。 同一向量在一組平行線上的分向
量均相同。

ページ143:

2. 投影概念釐清
Answer: 這是一個概念性問題,首次回
的三種不同表示方
分向量(投影/正射影):這是一個向量。 它表
←
示一個向量 AB在另一條直線CD上的正射
影,結果是平行於CD 的另一個向量 AB'。
• 投影量(分量):這是一個實數。 它表示向量
ä在向量 b方向上的帶符號長度,計算公式為
ã.b
|a| cos 0 =
|b|
。
投影長:這是一個非負實數。 它表示投影量的
->
AB. AC
絕對值,即」
|
1。 它也可以用來計算點
|AC|
B 到直線 AC 的距離 d = V AB-12。
重點提示:分量是實數,分向量是向量,投影長
是非負實數。 同一向量在一組平行線上的分向
量均相同。

ページ144:

Answer: 柯西不等式定理
Cauchy-S
H
向量形式:對於任意兩個非零向量a 和 b,它
們內積的絕對值小於或等於它們各自長度的乘
› E♫ |a · b| ≤ |a||b| •
,
坐標形式:對於任意實數x1,..., Xn和
n
n
n
¥1, · · ·, Yn ' Ħ (Σ x?)‹ Σ y²) ≥ ( Σ ×¡y;)² •
i=1_____________i=1
i=1
等號成立條件:當且僅當向量 a 和 b 平行(即
其中一個向量是另一個向量的常數倍)時,等號
才會成立。

ページ145:

空間向量的坐標表示法: 可用兩點坐標相減
-
-
-
(AB = (x2 − x1, Y2 — Y1, Z2 — Z1)) ¤¯ÓÊ
弦表示(AB= (l cosa, l cos p, I cosy))。
● 分點公式:點P在線段AB 上,且
AP:PB =m:n時,任一點 O 到 P 的向量
OP 可表示為
n
m
OP=
OA+
OB。
m+n
m+n
平行與共線: 若ĀB = kĀC,則 A, B, C 三點
共線或兩向量平行。
• 線性組合: 向量 OP 可由其他不平行的向量
OA, OB 組合而成 (OP= xOA + yOB)。

ページ146:

Answer
重點說明
顯示了空間向量中距離與中點公式的
百里亂
加了空間直角坐標系中兩個點
A(X1,Y1, Zq)和B(X2,Y2,2)之間的距離計算以及
線段AB中點M 的坐標公式:
原點 到點A 的距離:OA= 'x² + y² + z²
點A 到點B 的距離:
AB
=
-
√√(x1 − x2)² + (y1 − Y2)² + (Z1 − Z2)²
-
-
線段AB 的中點M 坐標:
X1 + X2 y1 + y2
Zq + Z2
M =
,
2
2
2

ページ147:

1. 向量內積概念
Answer: 向量內積
細
定義:兩個向量ä和b的內積定義為
äō = |ä||b| cos e, 其中 0 是它們的夾角。 如
b
果其中一個向量是零向量,則內積為 O
計算:對於三維空間向量=(a,a2,a3)和
b = (by, b2, b3), 內積計算為
ã.b=ab+a2b2+a3b3
。
@
性質: 內積具有交換律 (ã.b=b.a)、分配律
(ā. (b+c)=a.b+ā·ㄛ)等性質。
@
夾角公式:若兩個非零向量的夾角為0,則
cos e =
a.b
|a||b|
。

ページ148:

4.位置向量
Answer: P點的位置向量
在空間坐標系中,以原點為始點,P為終點的有
向線段所代表的向量稱為P點的位置向量。 若A點
的坐標為$(a_1, a_2, a_3)則可以用坐標(a_1,
a_2, a_3)來表示,記作 OA= (a1,a2,93),其中
a_1, a_2, a_3'分別稱為 OA 的 x 分量、y 分量
與z分量。

ページ149:

向量表示的唯一性:
○ 若O、A、B不共線,平面 OAB上任一向量
P恰有一組唯一的實數 x, y 使得
ỐP = XOA + JOB.
o 若O、A、B、C不共面,空間中任一向量 P
恰有一組唯一的實數x,y,z使得
OP = xOA+ yOB+zOC。

ページ150:

Answer: 空間向量的加、減、數積與平面向量意義
相同,其計算方式亦相同
。
• 空間向量之加減法及係數積:空間向量的加法、
減法、係數積運算與平面向量的意義和計算方式
完全相同。
分點公式:若點 P 在線段 AB 上,且
AP:PB = m:n,則OP=nOA+MOB
。
m+n
若 R 在直線 PO上但不在線段 PO上(外分點),
且PR: RQ =m:n,則R的坐標為
-na₁ + ma2 −nb₁ + mb₂
+mb2 −nc1+
-nc₁ + mc2
m-n
m-n
m-n
線性組合: 將一個向量表示為其他向量的倍數和,
稱為線性組合。
線性相依及線性獨立:
○ 兩個向量ã、五線性相依表示兩向量在同一直
線上。
三個向量 ã、b、ë線性相依表示三向量在同
一平面上;反之則稱線性獨立,表示四點不共
面。

ページ151:

(2) 空間兩點距離公式
Answer: √(x1 - x2)² + (y1 − y2)² + (z1 − Z2)²
Explanation:
-
在空間直角坐標系中,兩點 P(xı, Yi, Zy)和
P2(X2,Y2,2)之間的距離可以看作是一個長方體
的對角線長度
。
此長方體的三邊長分別為[x-x21,1y1-y21,和
|Z-Z2]。 應用長方體對角線的公式,即可得出
Z1
兩點之間的距離公式。

ページ152:

3.空間向量及表示法(Spatial Vectors
and Representation)
And (1)空間向量: 空間中二點P,Q,則由P到Q之
有向線段為空間中一向量$\mathbf{\vec{PQ}}$,
其原理與平面向量相同,但坐標表示法時多了z分
量。(2)空間中向量:
-
1), Q(x2, y2, Z2), PQ = (x2 − x1, Y2 - Y1, Z2 - Z1)

ページ153:

3.空間向量及表示法(Spatial Vectors
and Representation)
Answer:(1)空間向量:空間中二點P,Q,則由P到Q之
有向線段為空間中一向量$\mathbf{\vec{PQ}}$,
其原理與平面向量相同,但坐標表示法時多了z分
量。(2)空間中向量:
-
P(x1,y1, Z₁), Q(x2, y2, Z2), PQ = (x2 − x1, Y2 - Y

ページ154:

一:空間坐標系的定義、坐標軸、坐標面、正
射影、坐標表示以及右手系與左手系的區別。
坐標軸與坐標面: 通過原點 互相垂直的三條直
線分別是 x 軸、y軸、z軸。它們決定的平面
分別是 xy 平面、yz 平面、zx 平面,統稱三坐
標面。
點在軸與坐標面之正射影:空間中任一點 P 向各
坐標軸或坐標面作垂線,垂足即為正射影。
坐標:若P點在各坐標軸的正射影坐標分別為
a, b, c,則P點的坐標表示為(a,b,c)。
右手系與左手系: 這是兩種不同的坐標系定向方
式,未特別聲明時,通常使用右手系。

ページ155:

(1)長方體對角線長度
Answer: Va²+ b² + c2
Explanation:
根據畢氏定理,長方體底面對角線 OB 的長度為
Va² + b²。 接著,對角線 DB與高c形成一個
直角三角形,因此其長度為
√a²
OB² + c² = √√√ a² + b² + c² •
。

ページ156:

2.距離公式
(1)長方體對角線長度
Answer: √√a² + b² + c²
Explanation:
根據畢氏定理,長方體底面對角線 OB 的長度為
'a²+b²。 接著,對角線 DB 與高 c 形成一個
直角三角形,因此其長度為
-2
VOB
2 。
OB² + c² = √√√ a² + b² + c².
√a²
(2)空間兩點距離公式
-
Answer: √(x₁ = x2)² + (y1 − y2)² + (z1 − Z2)²
Explanation:
在空間直角坐標系中,兩點 P(xı, Yı, Zq) 和
P2(x2,y2,22)之間的距離可以看作是一個長方體
的對角線長度。
此長方體的三邊長分別為[x-x21, lyi - y21,和
|Zı - z2]。 應用長方體對角線的公式,即可得出
兩點之間的距離公式。

ページ157:

二平面夾角及平面之垂直
這是
旨在解释
二面角之平面角:當一個平面垂直於二面角的稜
時,該平面與二面角的交集才是平面角。 二面
角的度量是以其平面角的度量為準。
二平面垂直: 若二平面所決定的二面角為直二面
角(90°)時,稱此二平面垂直。
平面垂直之性質:
若直線L垂直平面 E,則包含L的每一平面
均垂直 E。
若平面 E 垂直平面F,其交線為L,在E上
向作垂線,則必垂直F;在F上向L作垂
線必垂直 E。
若二平面有一交線,且此二平面均垂直於第三個
平面 F,則該交線亦垂直於 F。

ページ158:

1. 正四面體公式
Answer: (1)高為
||
√6
3
√6
a, 體積為
√
a², 內切球半
12
a,外接球半徑為
a, 歪斜兩稜間最短距離為
徑為÷ x 高:
=
12
√6
4
1
所定二面角之度量 0, 則 cos e =
3
a
,
X 高
相鄰兩面
2. 正八面體公式
Answer: (2) 對角線長為 V2 a, 體積為
3
1
鄰兩面所定二面角之度量0, 則 cose = -
3
√2
a
球半徑為
a, 內切球半徑為
2
√6
,
相
,
外接

ページ159:

4. 投影(正射影)定義
點在一直線之投影:過點P作直線L的垂線,
交L於Q點,則Q點即為P 在 L 上的投影
點。 若 P已在上,則投影點為P本身。
,
點在一平面之投影:過點P作平面 E 的垂線
交E於Q點,則Q點即為P在 E 上的投影
點。 若 P已在 E 上,則投影點為P 本身。
• 一圖形在一直線(平面)之投影:將圖形S上的
每一點都投影到直線或平面上,所有這些投影點
所形成的圖形 S',就是S在該直線或平面上的
投影。

ページ160:

空間概念重點
13
14440
決定平面之條件: 空間中決定一個唯一平面的
條件包括不共線三點、相交的兩條相異直線、
條直線與線外一點,或兩條平行直線。
二直線間之關係:空間中兩條相異直線的關係
可能是恰交於一點、平行,或是歪斜(不相交也
不平行)
。
線與面之關係:一條直線與一個平面的關係可
能是平行、恰有一個交點,或直線完全包含在平
面上。
決定直線數與三角形數: 從 n個不共線的相異
點中,可以連出 C
n(n - 1)
=
條直線,並決
2
定 C:
=
n(n - 1)(n - 2)
6
個三角形。

ページ161:

這是一個關於建立空間直角坐標系基礎
知識的
坐標軸與坐標面: 通過原點 互相垂直的三條直
線分別是 x 軸、y軸、z軸。 它們決定的平面
分別是 xy 平面、yz 平面、zx 平面,統稱三坐
標面。
點在軸與坐標面之正射影:空間中任一點P向各
坐標軸或坐標面作垂線,垂足即為正射影。
坐標: 若 P 點在各坐標軸的正射影坐標分別為
a, b, c,則P點的坐標表示為(a,b,c)。
• 右手系與左手系:這是兩種不同的坐標系定向方
式,未特別聲明時,通常使用右手系。

ページ162:

這是一個關於空間幾何的觀念性問題:
電話生解釋二平面間的關係。
,
二面角之平面角:當一個平面垂直於二面角的稜
時,該平面與二面角的交集才是平面角。 二面
角的度量是以其平面角的度量為準。
二平面垂直:若二平面所決定的二面角為直二面
角(90°)時,稱此二平面垂直。
平面垂直之性質:
若直線L垂直平面 E,則包含L的每一平面
均垂直 E。
若平面 E 垂直平面F,其交線為L,在E上
向工作垂線,則必垂直F;在F上向L作垂
線必垂直 E。
若二平面有一交線,且此二平面均垂直於第三個
平面 F,則該交線亦垂直於 F。

ページ163:

(6)二平面垂直之性質
有了回至且關係的戏何性質。
性質說明若一直線垂直於一個平面,則任何
包含該直線的平面都會垂直於原來的平面
。
性質)指出若兩個平面互相垂直,則在其中一
個平面上垂直於交線的任一垂線,必會垂直於另
一個平面。
性質)說明若兩個平面同時垂直於第三個平
面,且前兩個平面相交,則它們的交線必垂直於
第三個平面。

ページ164:

(1)二平面之交線、(2)二面角、(3) 二面
用之平面角、(4)直二面角、(5)二平面垂直之定義
19A SHUL
二平面之交線:兩相異平面相交時形成的直線。
二面角:兩個共用一條邊界線但不共面的半平面
及其後的聯集。
二面角之平面角:在二面角的稜上作兩條垂直於
的射線所形成的夾角。
直二面角:平面角為直角的二面角。
二平面垂直之定義:包含直二面角之二面的兩個
平面互相垂直。

ページ165:

2. 線與線之垂直,線與面之垂直
(1)線與線之垂直
① 定義:
Answer: 若直線L,與L,交於一點,且決定之角為直角,
則L,垂直L,,以LL,表示。
② 空間中,給定一直線及線外一點P:
:恰有一直線通過P點且垂直於L。
③ 空間中,給定一直線L及其上一點A:
有無限多直線通過A點且與直線L垂直,而
且這些垂直線構成一個平面E。

ページ166:

(3)過定點又垂直定直線L之平面
① 給定一直線L及其上一點A:
Answer: 恰有一平面E與直線L垂直於A點。
② 給定一直線L及線外一點P:
Answer: 恰有一平面E通過P點且與直線L垂直。
(4)三垂線定理
定理内容:
Answe設直線AB與平面E垂直於B點,在平面E上,
直線BC與直線L垂直於C點,則直線AC也與直線L垂
直於C點。

ページ167:

(2)線與面之垂直
① 定義:
Answer: L與E相交於一點A,而且在平面E上通過A
點的每條直線都與直線L垂直。則稱直線L與平面E
垂直於A點。
② 判斷定理:
Answer: 直線L交平面E交於A點,在E上過A有二相
異線垂直L,則LE。

ページ168:

(1)二平面之交線、(2)二面角、(3) 二面
用之平面角、(4)直二面角、(5)二平面垂直之定義
19A SHUL
二平面之交線:兩相異平面相交時形成的直線。
二面角:兩個共用一條邊界線但不共面的半平面
及其後的聯集。
二面角之平面角:在二面角的稜上作兩條垂直於
的射線所形成的夾角。
直二面角:平面角為直角的二面角。
二平面垂直之定義:包含直二面角之二面的兩個
平面互相垂直。

ページ169:

(6)二平面垂直之性質
有了回至且關係的戏何性質。
性質說明若一直線垂直於一個平面,則任何
包含該直線的平面都會垂直於原來的平面
。
性質)指出若兩個平面互相垂直,則在其中一
個平面上垂直於交線的任一垂線,必會垂直於另
一個平面。
性質)說明若兩個平面同時垂直於第三個平
面,且前兩個平面相交,則它們的交線必垂直於
第三個平面。

ページ170:

2. 正弦、余弦、正切之關係
Answer: 正弦、余弦、正切的平方關係、商數關係
與餘角關係
該圖展示了三角函数的三個基本恒
平方關係(畢氏定理): sin²+cos² 0 = 1。此
性質源自於直角三角形的畢氏定理。
sin 0
商數關係: tan 0 =
。
圖中也提及了餘切
cos e
cos e
函數 cot =
。
sin 0
餘角關係: sin(90°-0) = cos 0 ;
cos(90° – 0) = sin 0 °
。

ページ171:

3.常見之其他恆等式
Answer: (1) (sin 0 + cos 0)² = 1 + 2 sin 0 cos 0,
(2) (sin 0 — cos 0)² = 1 - 2 sin 0 ⋅ cos 0, (3)
-
.
sinª 0 + cos² 0 = 1 - 2 sin² 0 ⋅ cos² 0, (4)
sinº 0 + cosº 0 = 1 − 3 sin² 0 cos² 0, (5)
1 - cos 0
sin 0
1 – sin 0
-
COS
=
sin
-
1 + cos 0
cos
1 + sin 0
=
=
1 − cos 0 + sin 0
-
1 + cos 0+ sin 0
1 - sin 0 + cos
1 + sin 0 + cos 0
且

ページ172:

4. 正弦函數、餘弦函數、正切函數
(1)正弦函數、餘弦函數、正切函數
Answer: 正弦函數(sin)、餘弦函數(cos)、正切函
數(tan) 2
銳角 0 在 0°到 90°之間變化時,sin 0、cos 0、
tan 0 的值會隨0決定,因此它們都是 0 的函數。
這些函數統稱為三角函數。
(2)變化趨勢與範圍
Answer: sin 0 由0 增至1;cos 0 由1 減至0;tan 0
由O增到無窮大 0
在 0 由 0°增加到90°的過程中:
0
y
sine
=
,值從O增加到1。
r
x
cos e
=
tan e =
r
y
-
x
,
,值從1減少到 0。
值從O增加到無窮大。
因此,在 0°<<90°時,sin 和 tan 0 為增函
數,COS 0 為減函數,且滿足0< sin 0 < 1,
0 < cos 0 < 1,tan 0 > 0。

ページ173:

Answer: 圖片內容為銳角三角函數的定義
圖片詳細說明了直角三角形中銳角三角函數(正弦
sin 、餘弦 cos 6、正切 tan )的定義,以及對
邊、鄰邊、斜邊的區分方式
相似比: 強調相似三角形對應邊長成比例。
邊的定義:解釋直角三角形中某個銳角的對邊、
鄰邊、斜邊位置。
對邊長
三角函數公式:定義 sin =
斜邊長
鄰邊長
對邊長
cos 0 =
tan 0 =
斜邊長
鄰邊長
• 舊教材補充:提及舊教材中尚有 cot 0 =
1
tan 0
1
1
sec 0 =
csc 0 =
等函數定義。
cos e
sine

ページ174:

Answer: 圖片內 銳角三角函數的定義
241A3
科邊的區分方式。
相似比: 強調相似三角形對應邊長成比例,
。
邊的定義:解釋直角三角形中某個銳角的對邊
鄰邊、斜邊位置。
對邊長
三角函數公式:定義 sin 0
=
斜邊長
鄰邊長
對邊長
cos 0 =
› tan 0 =
。
斜邊長
鄰邊長
舊教材補充:提及舊教材中尚有 cot 0
=
1
tan e
1
1
sec 0 =
csce
=
等函數定義
0
cos A
sin 0

ページ175:

Answer: 圖片內 銳角三角函數的定義
241A3
科邊的區分方式。
相似比: 強調相似三角形對應邊長成比例,
。
邊的定義:解釋直角三角形中某個銳角的對邊
鄰邊、斜邊位置。
對邊長
三角函數公式:定義 sin 0
=
斜邊長
鄰邊長
對邊長
cos 0 =
› tan 0 =
。
斜邊長
鄰邊長
舊教材補充:提及舊教材中尚有 cot 0
=
1
tan e
1
1
sec 0 =
csce
=
等函數定義
0
cos A
sin 0

ページ176:

6. 共軛雙曲線與等軸雙曲線
(1)共軛雙曲線
Answer 共用中心,且一個的貫軸與共軛軸分別為
另一個的共軛軸與貫軸的兩雙曲線
(2)等軸雙曲線
Answer:貫軸長等於共軛軸長(即a² = b²)的雙
曲線
Step 1: 解釋等軸雙曲線的特性
等軸雙曲線的漸近線互相垂直。
Step 2: 解釋焦距與半軸長的關係
對於等軸雙曲線,焦距c與半軸長的關係為
= √√2 a°
c=

ページ177:

• 中心是(hk)。
頂點為A(h+a,k)、A'(h-a,k)。
• 焦點為F(h+c,k)、F'(h-c,k),其中
c² = a² + b²。
貫軸長為 2a,共軛軸長為26。
正焦弦長為
262
。
a
-
• 漸近線方程式為
(x − h)²
(y-k)²
=
||
b²
a²
Step 3:上下型雙曲線性質
對於平移後的上下型雙曲線
0。
(y-k)²
-
(x − h)²
=1,其性質如
a²
b²
下:
中心是(h,k)。
頂點為A(h, k + a)、A'(h,k-a)。
• 焦點為F(h,k+c)、F'(h,k- c),其中
c² = a² + b²。
貫軸長為 2a,共軛軸長為 2b。

ページ178:

重點2 求雙曲線方程式
Anade 雙曲線方程式的求解重點
150
求變曲線方程式的幾】
方法,涵蓋不同款和條件:
水平、鉛直軸:先確定中心(h,k),判斷為上下
型或左右型,然後計算²和b²
(c² = a² + b²),正焦弦長為
2b2
。
最後求出
a
.
方程式。
• 非水平、鉛直軸:利用雙曲線的定義來求解。
已知漸近線:若漸近線為
Lı:aqx + bqy + cq = 0 和
L2:a2x+by+C2=0,可設雙曲線方程式
為 (aqx + bıy + Cı)(azx + bzy + Cz) = k。
漸近線斜率:
a²
-
b2
|
a²
-
6
b2
=1的漸近線斜率為土
=1的漸近線斜率為土
a
a
。
b

ページ179:

Step 3:上下型雙曲線性質
對於平移後的上下型雙曲線
(y-k)²
(x-h)²
=1,其性質如
a²
b2
下:
中心是(hk)。
頂點為A(h, k+a)、A'(h,k-a)。
焦點為F(h, k+c)、F'(h, k - c),其中
c² = a² + b² 。
貫軸長為2a,共軛軸長為26。
262
正焦弦長為
。
a
漸近線方程式為
(y-k)²
-
(x − h)²
=
=0。
a²
b2

ページ180:

5.焦半弦(徑)
Answe:焦半徑(弦)
若F為雙曲線之焦點,P為雙曲線上一點,則
PF 叫此雙曲線之焦半徑(弦)。

ページ181:

3. 正焦弦
Answer: 正焦弦
雙曲線的焦弦中,垂直貫軸者稱為正焦弦。
4.正焦弦長
Answer:
262
a
X
對於標準型雙曲線方程式
12
尸
-
2
|
b2
||
x =1及平移型雙曲線方程式
a² 62
(x − h)²
3
-
(y-k)²
1
= 1
b2
=1,其正焦弦長皆為
a²
(y – k)²
-
2b²
a
a²
(x − h)²
-
62

ページ182:

5. 雙曲線圖形平移
式與性
Step 1: 解釋雙曲線平移
a²
X
雙曲線的標準方程式為
12 x2
-
a²
b2
-
12
=1(左右型)或
b2
=1(上下型)。 當雙曲線平移向量
V = (h, k) 時,新的方程式會將 x 替換為
(x - h),將 y 替換為 (y - k)。
Step 2: 左右型雙曲線性質
對於平移後的左右型雙曲線
(x − h)²
下:
a²
(x-h)²
(y-k)²
=1,其性質如
b²
.
中心是(hk)。
頂點為A(h+a,k)、A'(h-a,k)。
焦點為 F(h + c, k)、F'(h - c, k),其中
c² = a² + b² 。

ページ183:

焦點在x 軸上((±c, 0) 或 (h ± c, k))
:方程式
為
=
a²
-
(x − h)²
-
a²
12
b2
1或
(y – k)²
b2
1。
焦點在y 軸上((0,±c)或(hk±c)):方程式
為
-
X
b2
+ =1或
(x − h)²
- -
b2
(y-k)²
+
。
a²
貫軸長:貫軸長度恆為 2a。
• 參數關係:b= c²-a²,等同於
c² = a² + b²。

ページ184:

3.雙曲線之漸近線
Answer: (1)漸近線的定義:當一直線與—曲線在無
窮遠處,兩者距離趨近於零,則此直線稱為該雙曲
線的漸近線。(2) 漸近線的性質: 雙曲線
a²
|
尸
b2
||
_? x-a ya K
y-b x-b
┃+
=
||
1 的漸近線為
0。 雙曲線
=0及
(x − h)²
x
-
-
a
a²
h
+
|
y
a
-
(y-k)²
(y-k)²
x
-
XD
b
36
a²
-
x
a
+
b2
y
=0及
b
=1的漸近線為
=0。雙曲線
=1的漸近線為
b2
y-k
x-h
y-k
=0及
=0。雙
h
a
b
(x − h)²
=1的漸近線為
a²
b2
x-h
+
=0及
y-k x-h
=
0。方
a
b
a
b
曲線
y-k
-
程式 (ax + bqy+c)(azx+by+C2) = k 的漸
近線為aqx+by+ cq = 0 及
azx + bzy + c2 = 0。
@

ページ185:

4. 雙曲線之弦、焦弦、焦半弦(徑)、正
焦弦
(1)弦
Answer 若一線段之二端點在一雙曲線之一支上,
此線段叫此雙曲線之弦
(2)焦弦
Answer: 雙曲線過焦點之弦叫焦弦

ページ186:

1. 雙曲線定義
在平面上,設 F與F'為二定點,a為一正數。
若 FF' > 2a,則在此平面上,至F與F'的距離
之差等於定數2a的所有點所成的圖形稱為一個雙
曲線。
●F與F'稱為此雙曲線的兩個焦點。
2a 為此雙曲線的貫軸長。
2.滿足IPF1 PF_2] 2a$的P點軌跡
• (1) 若 0 < 2a < FF,則 P 點的軌跡為一雙
曲線。
(2) 若FF2 = 2a,則 P 點的軌跡為二射線。
(3)若FF< 2a,則P點的軌跡為(無圖
形)。

ページ187:

(4) 焦半徑長:對於
**
a -
36
+
b2
P(x,yo),焦半徑長 PF
PF2
=a+
= a
= 1 上的點
-
C
a
xo
,
C
x0
。
對於 + = 1 上的點
a
x²
a² 62
C
a
P(x,y),焦半徑長PF=a-yo
PF2
=a+yp°焦半徑的最小值為a-c,最大
a
值為a+c。
(5)橢圓面積:
(6)內接矩形:
x
a²
x²
a²
+
+
3636
=1的面積為 rab.
。
b2
=1之內接矩形的最大面
4a²b²
積為 2ab,內接正方形的面積為
,
內接正
a² + b2
ab
ab
方形頂點為(土
Va² + b2
Va² + b2

ページ188:

3.
Moverline{PF_1}
\overlinerr_2}=2a$的P點軌跡
(1) 若 0 < 2a < FF,則 P 點的軌跡為雙曲
線之一支。
(2) 若 2a = FFz,則P點的軌跡為一射線。
(3) 若 2a > FFz,則P點的軌跡為 ↓(無圖
形)。

ページ189:

(3)經線性映射之映像方程式
Answer: f'(x',y')=0$
利用線性映射矩陣:
( * ) = ( a
(a 9) (0)
b x
d y
且原始方程式為f(x,y)=0。

ページ190:

重點2 求橢圓方程式
(1)由已知條件作略圖
Answer: 作略圖
軸為水平、鉛直方向時,使用公式。
否則,利用定義求方程式。
(2)軸為水平鉛直求方程式
A:作略圖→確定左右型或上下型
→求出中心$(h,k) 求$a^2,b^2 求
得方程式
• 左右型方程式:
(x - h)²
(y-k)²
+
= 1
a²
b2
上下型方程式:
(y - k)
(y-k)²
-
(x − h)²
+
=
a²
b²
註:a> b > 0pc²=²-b²,正焦弦長
{2b^2{a}>

ページ191:

重點3 橢圓之性質
Answe橢圓上任一點P到二焦點之距離和等於長
軸長
Explanation:
(1) 橢圓上任一點P到二焦點的距離總和是一個定
值,且這個定值等於橢圓的長軸長 2a。
(2)參數表示法:對於標準橢圓方程式
+
a²
b2
=1,其上的動點P可表示為
(a cos 0, b sin 8)。
(3)共焦點橢圓:與
**
=
a²
焦點的橢圓,可設為
(4)焦半徑長:對於
+
x²
+1
b2
a² + h
+
a²
b2
+
= 1 (a > b > 0) 共
62 + h
=
1
。
=1 上的點
P(x,yo),焦半徑長 PF=a-
C
PF2 = a + xo 。 對於
a
+
CO
a
xo
,
x²
=1 上的點
b2
C
yo'
a
PF, = a + - Yo
。
yo 焦半徑的最小值為 a-c,最大
P(x,yo),焦半徑長 PF=a-

ページ192:

長軸端點
短軸端點
焦點
(a, 0), (-a, 0)
(0, b), (0, -b)
(c, 0), (-
(a+h, k), (−a+h, k) (h,b+ k), (h,−b+ k)
(c+h,h
(0, a), (0, -a)
(b, 0), (-b, 0)
(0, c), (0
(h,a + k), (h, -a + k) (b+h, k), (−b + h,k)
(h,c+h

ページ193:

短軸端點
焦點
正焦弦長
(0, b), (0, —b)
(c, 0), (-c, 0)
262
a
(h,b+ k), (h, −b + k) (c+ h,k),(−c+h,k)
262
a
(b, 0), (−b, 0)
(0, c), (0, -c)
2b²
a
(b+h, k), (−b+h, k) (h,c+ k), (h,−c+k)
26²
a

ページ194:

(3)重要性質
Answer: 長軸長為2a,短軸長為 2b,二
焦點相距為2c, 正焦弦長為
262
a
長軸是穿過兩焦點的最長線段,長度為
2a° @
• 短軸垂直於長軸並穿過中心,長度為26。
• 兩焦點之間的距離為 2c。
262
• 正焦弦長度為
a

ページ195:

(3)焦弦及正焦弦定義與長度公式
① 焦弦及正焦弦的定義
Answer: 弦過焦點叫此橢圓之焦弦,焦弦中,垂直
長軸者叫正焦弦
Explanation
焦弦是指通過橢圓焦點的弦。 在這些焦弦中,與橢
圓長軸垂直的那條弦被稱為正焦弦。
②正焦弦長公式
Answer:
262
a
Explanatio
對於標準橢圓方程式
+
a²
32
= 1或
b2
尸
说
+
=
a²
b2
1(其中 a>b> 0),其正焦弦的長
2b²
度公式為
a

ページ196:

1. 已知橢圓標準式求各要點
(1)作圖與判斷
作略圖,判斷左右型或上下型,定
a², b² ⇒ c²
• 作略圖可以幫助判斷橢圓是屬於左右型(長軸平
行x軸)還是上下型(長軸平行y軸)
• 根據標準式確定a²和b²的值,其中
a>b>0。
利用關係式 c2 = a²- b²求出c² 2.
。
2.橢圓要素表格
(2)填寫表格
Answer 表格內容為橢圓各種標準式下
的中心、長軸端點、短軸端點、焦點、
正焦弦長 @

ページ197:

方程式
中心
長軸端點
x
a²
(0,0)
(a, 0), (-a, 0)
+
(h, k)
(a+h,k),(¬a+1
=
1
(x
-
a²
b2
h)²
+
=+=1
(y-k)²
a²
+
(y-k)²
b2
(x-h)²
b2
-
(0,0)
(0, a), (0, -a)
(h, k)
(h, a+ k), (h, −a -
1

ページ198:

正焦弦(Latus Rectum)
Answer: 通過焦點且垂直於長軸的弦
Explana
正焦弦是通過焦點且平行於準線(或垂直於過焦
點的軸)的弦。
262
• 其長度公式為
。
a
• 在圖中,GH 為正焦弦。

ページ199:

橢圓的焦弦與正焦弦
(b)橢圓的焦半徑公式
C
Answer: PF = a - - yo,
c
a
PF' =
= a + - yo
a
Explanation
當橢圓方程式為
+=
= 1 (a > b > 0),焦點
在y軸上,設 P(x,y)為橢圓上一點,則兩焦點
F(0,c) 及 F'(0,−c) 到 P 點的距離(焦半徑)公
C
C
式為 PF = a-
yo且 PF' = a + - yo(其中
a
a
c = Va²-b²)
。

ページ200:

(2)①焦半弦(Focal Radius)
Answer: 一線段之端點為焦點,另一端點在橢圓上,
稱此線段為此橢圓之一焦半弦或焦半徑
Explanation:
焦半徑是從橢圓上任意一點 P(xo, Yo)到任一焦
點F(c,0) 或F'(−c,0)的距離
。
在圖中,FA 和 FB 都是焦半徑。
(2)② 公式(Formula)
Answer: PF+ PF' = 2a
Explanation:
• 根據橢圓的定義,橢圓上任一點到兩焦點的距離
和為定值 2a。
圖中的公式部分提到79+7(應為 PF + PF'
的筆誤),即為此距離和。
這是計算焦半徑長度的基礎公式。

ページ201:

(2) F:
+
= 1 平移讠= (h,k)
後的'
Answer: 平移後的橢圓方程式為
(x - h)²
(y-k)
+
。
a²
b2
各點坐標如下:
中心:由(0,0)移至(hk)
● 焦點:由(±c.0)移至(±c+hk)
• 長軸端點:由(±a,0)移至(±a+h,k)
● 短軸端點:由(0,+b)移至(h,±6+k)
(3) F:
尸
24
後的'
+
b2
47
=1平移V=(h,k)
Answer: 平移後的橢圓方程式為
(y-k)² (x − h)²
+
a²
-
b2
又點小栖加下:
= 1
。

ページ202:

(3) F:
+
=
1 平移V=(h,k)
a²
後的'
Answer: 平移後的橢圓方程式為
(y-k)² (x − h)²
+
a²
-
b2
各點坐標如下:
。
=
中心: 由 (0, 0) 移至 (h, k)
焦點:由 (0,±c)移至(h±C+ k)
長軸端點:由(0,±a)移至(h,±a+k)
短軸端點:由(±6,0)移至(+6+h,k)
(4)上面各情形中,a> b > 0,
2
c² = ²-b²,正焦弦長
262
a
2a,短軸長 2b,二焦點相距2c
長軸長
Answer: 這些叙述都是正確的,適用於上述兩種標
準形式的橢圓及其平移。