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1 Z 8 △OAB において, OA =4, OB=3, COS ∠AOB 6 である。 辺 OA を5:1 に内分する点を C, 辺OB を 5:4に 内分する点をDとする。 また, OA=a, OB = b とする。 (1) 内積 α・bの値を求めよ。 また, CD を a, b を用いて表せ。 (2)辺 ABの中点をMとし, 直線 OM と直線 CD の交点をP OPを とする。 OP を a, b を用いて表せ。 (3)(2)のとき, 線分 PD の垂直二等分線と直線AB の交点を Q とする。OQ を a, b を用いて表せ。 (配点 40)
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令和7年度 4月進研記述高3 模試 @自学 (1) 内積の定義により a・b = 4x3x = 2劄 1 4 3 A 5 5 5 5 ► OC == OA = a, OD = OB = -b 6 9 始点の統一により CD = = OD-OC 56- 9 5- 6 || 56 → a+ ① -b A 5-9 ・B (5) D B
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(2) 2直線の交点 OPを二通りの式で表して係数比較 □ 3点 0, P, Mは一直線上にあるから 共線条件により OP=kOM (k: 実数 ) ここで, 内分点の位置ベクトルにより 10A + 10B OM = P 1+1 A B = 1 M + -b 2 2 1 = 2 -ka+-kb 2 よって OP ① □ 点Pは線分 CD をs : (1-s) に内分する点とすると OP = (1-s)OC + SOD = 5 ← 5 (1-s)a +=sb ② aとbは一次独立だから、 ①と②の係数をみくらべて 5 -k = (1-s), k = S 2 6 2 これらを連立方程式として解くとk || = 5923 , 1 2 1 2 よって OP すなわち OP =-x-a+ × .b 23 1 = a+ b 3 23 → 1 3 S 3-5 ==
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3 □ 点Qは線分ABをt:(1-t)に内分するとすると 0Q = (1-t)OA + fOB = (l-t)a+tb……※ OQ= (1-1)OA+fOB □ 線分 PD の中点をN とすると 10P+10D 1 → 1 5 ON = == + .b + - x 1+1 23 29 = 4 .b 5 NQ=OQ-ON 5 = a+ 6 5 □ (1)より CD --- ·a+ 6 .b 9 NQ⊥CD だから,ベクトルの垂直条件によりNQ・CD = 0 よって 4 -- 5 → a+ b=0 5 9 182 両辺に -をかけて 5 整理すると 15-181)a+(18t-8)}(-3a+2)=0 (-45 + 54t)|a|? +(54-90t)ab+(36t-16)|6|2=0 |a|=4,|b|=3,a・b=2を代入して (-45+54t)×42 + (54-90t)×2+(36t-16)x32 = 0 この1次方程式を解くと･･･ 3 t=- 4 これを※に代入して 3 3- = -- la + 4 よって OQ = 4 3 a+ b A 4 P D B M
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