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数学Ⅰ 数学A ( 全問必答) 第2問(配点 30) 自学(紫) [1] xを0<x< 3を満たす実数とする。 図1のように, 平面上に一辺 の長さが6-2x の正方形ABCD と点P を中心とする半径 xの円盤 Pがあり、点P は正方形ABCDの周上を動く。 A P D B C 図 1 (1) x = 1 とする。 点P が辺 AD 上を点Aから点 D まで動くとき,円盤Pの通過 範囲(図 2 の斜線部分) の面積は ア +πである。 A 図 2 D (数学Ⅰ 数学A第2問は次ページに続く。)
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点Pが正方形ABCD の周上を一周するとき,円盤Pの通過 範囲(図3の斜線部分)の面積はイウ +πである。 A B D C 図 3 (2) 点Pが点 A, 点 D にあるときの円盤Pをそれぞれ円盤 4,円盤 Dとする。 円盤4と円盤Dが接するのは, 辺 AD の長さが二つの 円盤の半径の和と等しいときであり,それは I x = オ のときである。
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太郎さんと花子さんは、点Pが正方形ABCD の周上を一周する ときの円盤Pの通過範囲について考えている。 太郎: 点Pが正方形ABCD の周上を一周するとき, 正方形 ABCD の内部に円盤Pが通過しない部分があるとき はどんなときかな。 I I 花子: 0<x< のときだね。 ≦x<3のとき オ オ は, 正方形 ABCD の内部はすべて円盤Pの通過範囲 に含まれるね。 点Pが正方形ABCD の周上を一周するとき,円盤Pの通過範 囲の面積を S(x)とすると I 0<x< のとき オ S(x) = (π カキ 2 x + クケx I オ ・≦x<3のとき S(x)=(π- コ である。 (x² + サシ (数学Ⅰ 数学A第2問は次ページに続く。)
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2025年度 第1回全統共通テスト高3模試@自学 Akagi 第1問 【関数】 [1] (1) x=1のとき ○長方形の面積は 2×4=8 A P• B D 1 A 〇円の面積は 12π=π よって、 通過範囲の面積は 8 +π また, 右図の斜線部分の面積は ○ 長方形 4つ分 1 A (4x1)×4=16 ○正方形大-正方形小 4222=12 ○おうぎ形 4つ分 12π 1² π = π →> 16+12 + π = 28 + π B 4 2 4 4 D D
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(2) 円盤の半径=円盤Dの半径=x ・・・・・・①
辺 AD の長さ= 6-2x
②=①×2より
6-2x = x + x
3
∴x=-
2
3
0<x<- (真ん中の空白がある)のとき
2
S(x) =(6-2x)^-(6-4x)^+{(6-2x)xx}×4+12
=(-20)x2+48x
3-2
24
576
2
=-(20-π)(x-
20-π
20-π
≦x<3(真ん中の空白がない)のとき
S(x) = (6-2x)}+{(6-2x)xx}×4+2
=
=(-4)x2+36
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