ページ3:

(3) x軸と軸に接する円は
とおける。
(x-r)2 +(y-r)²=12
この円が点(2, 1)を通るから (2-r)2 +(1-1)^= r2
2次方程式を解くと
r2-6r+5=0
(r-1)(r-5)=0
r=1,5
よって, 求める円の方程式は
(x-1)^+ (y-1)^ =1または(x-5)^+ (y - 5)^ = 25 答

ページ4:

(4)
sin0 + √3cos 0 =1
左辺を sin で合成すると√12 + (v3)^ sin 0 +
sin (0+17/4) =1
π
13
60°
両辺を2でわって
π
0 +
=t ≦t<-πとおくと
3
3
範囲に注意すると
t=-π,
πT
もとにもどして
0 +
---
3
すなわち
=
3
π
2 sin(0+1)=1
-
3
sin(0+1)
=
1
3 2
sin t
5-65-611-6
13
-
6
13
1
|2
π
-π,
-
π
6
π
-
2
π
(5) 関数 f(x) = log2(x-1)+2log (3-2x) の最大値を求めよ.
※Ⅲ型小問集合 (2) と同じだから略
1

ページ5:

2 【II型 必須問題】 (配点 50点)
関数 f(x) を次の式で定める.
f(x) = x3 -3x + 2
tは0<t<1を満たす実数とし, 曲線C:y=f(x) 上の点P(t, f(t))
におけるCの接線とCの共有点のうち, Pと異なる方を Q とする.
(1) Cの増減を調べ, 極値を求めよ.
(2)Q の x 座標をtを用いて表せ.
(3) Pからx軸に下ろした垂線の足をHとし,三角形 PQH の面積をS
とする.tが0 <t<1の範囲を変化するとき, Sが最大となるt の値を
求めよ.

ページ6:

(1)
2 数Ⅱの微積(自学 Akagi)
▷ f(x) = x3-3x + 2
▷f'(x) = 3x2-3=3(x+1)(x-1)
▷ f'(x) = 0 のとき x = -1, 1
▷ f(-1) = 4, f(1) = 0
f(x) の増減表は
+
X
-1
1
f'(x) +
0
-
0 +
-1
+1
f(x) 極大 ✓ 極小
表より, f(x) は
x=-1のとき極大値4をとり, x=1のとき極小値0答
をとる。

ページ7:

(2) 曲線 C:y=f(x)=x3-3x+2上の点P(t, t3-3t+2)における
接線をlとし, lの方程式を求めます。
点P を通り,傾きf'(t) = 3f2-3の直線(接線l) の方程式は
y-(t3-3t+ 2) = (3t2-3)(x-t)
y=(3t2-3)x-2t3 + 2
....
・①
▷ 接線lと曲線Cの共有点のx座標の値を求めると
x3 -3x + 2 = (312-3)x -2t3 + 2
∴x3-312x+2t3 = 0
∴ (x-1)(x2+tx-212) = 0
∴ (x-t)(x-t)(x+2t) = 0
∴ (x-1)^2(x+2t) = 0
∴x=t, - 2t
x = tは点Pのx座標の値だから,点Qのx座標は − 2t 答

ページ8:

(3)準備:P(t, t3-3t + 2) Q(-2t, - 8t3+6t+2) H (t, 0)
△PQH の底辺はPH = 13-3t+2,高さはt- (-2t) = 3tだから,
面積は
S = (t3 - 3t + 2)×3t÷2=
9
3
-ť
-
·t² + 3t
2
2
S' = 613-9t+3=3(t-1)(2t2 + 2t-1)
S'=0のときx = 1,
- 1 √3
2
よって, 0 <t <1に注意してSの増減表を書いてみると
|-1+√3
t
0
...
1
2
S'
+ 0
-
S
> 極大
7
-1+√3
Sはt=
2
のとき極大値, すなわち最大値をとる。

ページ9:

3 【II型 必須問題】 (配点 50点)
袋の中にA, B, C, D E の5枚のカードが入っている.この
袋からカードを1枚取り出し, 取り出したカードに書かれた文字を記録し
てから袋に戻す. この操作を4回繰り返した後, 記録された文字をアル
ファベット順に左から並べて文字列を作る.
例えば,袋から順にB, C,A,Cと取り出したとき,文字列は ABCC
となる.
(1) 文字列が ABBB, ABCC となるようなカードの取り出し方はそれぞれ
何通りあるか.
(2) 文字列の左から1番目がAとなるようなカードの取り出し方は何通り
あるか.
(3) 文字列の左から2番目がBとなるようなカードの取り出し方は何通り
あるか.

ページ10:

③ 場合の数(自学 Akagi)
(1) ABBB(Aを1回, Bを3回)となるのは,この並べ方と同じだから
4!
=4 (通り)答
3!
▷ ABCC(Aを1回 Bを1回, Cを2回)となるのも, この並べ方と
同じだから
4!
=12 (通り) 答
2!
(2)「文字列の左から1番目がAとなる」 の余事象は
「4回とも A以外のカードを取り出す」場合。
カードの取り出し方は全部で
54 = 625 (通り)
4回ともA以外のカードの取り出し方は 44 = 256 (通り)
よって, 文字列の左から1番目がAとなるようなカードの取り出し方は
625-256 = 369 (通り) 答

ページ11:

(3) 文字列の左から2番目がBとなるのは次の二通ありそう。
(ア) Aが1回,かつ, B が少なくとも1回取り出される。
(イ) Aが 0 回,かつ, Bが2回以上取り出される。
(ア) Aが1回だけ取り出されるのは, A□□□を横一列に並べる
並べ方と同じなので,C, x43=256(通り)。 ※□はA以外
▷Aが1回だけ取り出され,かつ, B が 1 回も取り出されない
のは ACDE の並べ方と同じなので,C,× 33=108(通り)。
よって, A が1回, かつ, B が少なくとも1回取り出されるのは
256-108=148 (通り)
(イ) BB□□の場合は4C2×32 = 54 (通り)。※□は A 以外
BBB□の場合は
4C3 ×3=12 (通り)。
BBBB の場合は 1(通り)。
よって, A が 0 回,かつ,Bが2回以上取り出されるのは
54 +12 + 1 = 67 (通り)
(ア) と (イ)の合計が求める通り数だから
148 + 67 = 215(通り)

ページ12:

4 【II型 必須問題】 (配点 50点)
aを0でない実数の定数とし, 2次関数 f(x) = x2 -2ax+ a 2 + 3a + 1
の0≦x≦2|a|における最大値を M, 最小値をmとする.
(1) a=-1のとき,Mとを求めよ.
(2)M を a を用いて表せ.
(3)4本の直線x=0, x=2|a|,y= M,y=mによって囲まれる図形が
正方形となるようなαの値を求めよ.

ページ13:

4 二次関数(自学 Akagi)
a 0
a=-1のとき
(1) a = −1¾ f(x) = x²-2.(−1)x+(−1)² +3⋅ (−1) +1
= x²+2x-1
= (x+1)² - 2
0≦x≦2の範囲でy=f(x)のグラフをお絵かきしてみると
7
10
2
-1
M = 7, m =-1 %*

ページ14:

a
(2) 平方完成して軸の方程式を求めるとf(x)=x2-2ax + α² + 3a + 1
=(x-a)2 +3a + 1
◆軸: x = a
よって, 軸が正･･･アと軸が負･･･イ に分けて考えればよさげ。
アα>0のとき
イ α <0のとき
0≦x≦2a に注意して
グラフをお絵かきすると
0≦x≦-2a に注意して
グラフをお絵かきすると
Max
Max
a0
-2a
a
2a
0
M = f(0) = f(2a) = a² +3a +1
M=f(-2a) = 9a2 + 3a +1
a > 0 のとき M = a² + 3a +1
ア, イより
a < 0 のとき M = 9a2 +3a +1

ページ15:

(3)(2)を利用します。
ア a > 0 のとき M = a2+3a +1,m=f(a)=3a+1
Ma²+3a+1,
4本の直線で囲まれる図形が正方形となるのはM-m=2a のとき
だから
(a2+3a+1)-(3a + 1) = 2a
..a(a-2)=0
a0より
a = 2
①
a< 0 のとき M = 9a² + 3a + 1, m = f(0) = a² + 3a + 1
4本の直線で囲まれる図形が正方形となるのは M-m=-2a のとき
だから
(9a² + 3a+1)-(a²+3a + 1) = -2a
∴a(4a + 1) = 0
1
a< 0より
a
4
アイより
* 1) a = − 1 1 2 %
2答
4

ページ16:

5 【II型 選択問題】 (配点 50点)
公比が実数である等比数列{a} は, a2=6, as
= 48を満たしている.
n
また,数列{6}は,Xbm=n2-19n(n=1, 2, 3, …)を満たしている.
k=1
(1) 数列{a}の一般項を求めよ.
(2) 数列{6}の一般項を求めよ.
17
(3) Σakbk が最小となるn の値と,そのときの最小値を求めよ.
k=1

ページ17:

5 数列 (自学 Akagi)
(1) 等比数列{a}の初項をα, 公比をrとします。
a = 6 より
a₁r = 6
①
等比数列の一般項
a5
as = 48 より
ai
.
= 48
②
an=a.r'
②①
2÷1
より
r = 8
公比は実数だから
r=2
①に代入して
a₁ = 3
したがって a=3.2"-1答
(2)数列{b,}の初項から第n項までの和を S, とすると
S₁ = Eb = n – 19n
11
n≧2のとき
k=1
11
b, =(n2-19n)-{(n-1)^-19(n-1)}
=n²-19n-(n2-2n+1-19n+19)
=2n-20答
和と一般項
a = S-S-1
an
(n≧2)
b = S, = 12 -19.1=-18だからこれはα =3のときにも成り立つ。

ページ18:

(3)(1),(2)より
a bm
=3.2"-1 (等比数列), b, =2n-20 (等差数列)
n
よって
"
n n
ab=3.2"-1 (2n-20) コッチに注目
つねに正
◆n=10を境目として負から 0, そして正へと変わる
から, Zakbk が最小となるのはn = 9,10答
1
k=1
T=Zakbk とおき, T, の最小値を求めます。 T, の最小値はn=1
11
k=1
からn=9までの和だから
T,=Σ3.2.2k-20)}=6Σ(k-10).2*
k=1
③
k=1
( 等差数列) × (等比数列) 型
ここで,U
=
k=1
(10) -2 -1 とおくと
U = -9.1+(-8).2 + (-7)・22+... + (−1).2°
-) 2U =
(-9)2 + (-8).22 +…+ (−2)・2° + (−1)・2°
-U = -9.1 + (2 + 2 2 + … + 2° + 2°)
2(29-1)
=-9 +
-9+
2-1
.....
初項2・公比2
=1013
∴.U=-1013
項数9の等比数列の和
これと③より, 最小値はT, = 6×(-1013)=-6078

ページ19:

6【II型 選択問題】 (配点 50点)
平面上に三角形ABC があり、点Pが
(2-3t)PA+1PB+(2t-1)PC = 0
を満たしている. ただし, は実数の定数とする.
(1)
APをt, AB, ACを用いて表せ.
(2) 辺 BC の中点をMとする. P が直線AM 上に存在するような の値
を求めよ.
(3)(2)で求めた tの値に対するP を Q とする. 三角形 BCP の面積をS,
三角形 BCQ の面積をTとするとき, S≧3T となるようなtの値の範囲
を求めよ.

ページ20:

6 ベクトル(自学 Akagi)
(1) 始点の統一を利用して式変形します。
•
よって
(2-3t)PA=-(2-3t) AP= (3t-2)AP
PB= t(AB-AP)=tAB-tAP
始点をAで統一
(2t-1)PC=(2t-1)(AC-AP)=(2t-1)AC-(2t-1)AP
(2-3t)PA+1PB+ (2t-1)PC = 0
⇒ (3t-2)AP + tAB-1AP+ (2t-1)AC-(2t-1)AP= 20
⇒ AP = tAB + (2t-1)AC 答

ページ21:

(2) 〜お絵かきしてね♪〜
点M は BC の中点だから次のように表せる。
AB + AC 1
→
1
AM
=
・AB +
-
-AC
2
2
2
点Pが直線AM 上にあるとき, 3点 A, P, M は一直線上にあるから
共線条件により次のように表せる。
AP =kAM =
d-12kAB+1/2kAC(k:実数)……①
2
一方,(1)より AP = tAB + (2t - 1)AC
②
AB, ACは1次独立 (平行でなく霊ベクトルでない)だから、①と②の
係数を見比べて
11/24(21-1)=1/24
-k,
-k ⇒k=2,t = 1答

ページ22:

(3) 〜お絵かきしてね♪~
......
AP = tAB + (2t-1)AC ... (*)
(2)より AQ = AB + AC → 四角形 ABQCは平行四辺形だから
T = △ABC = △BCQ。
ここで, 3t = 1, すなわちのとき,(*)より
3
AP-1AB-1BC-1/CB
=
3
3
1
であり, S=TとなるのでS≧3T を満たさないから t≠
3
(*)の右辺を無理やり式変形すると
AP = tAB + (2t-1)AC=
tAB + (2t-1)AC
3t-1
-x (3t-1)
直線 BC 上の点をDとすると
分点の位置ベクトル
の公式の形
AD =
tAB + (2t-1)AC
3t-1
と表され,
AP
=
(31-1)AD
と表せ,
となる。
PD = AD - AP = (-3t+ 2)AD
PD を AD で表したかったの
- 3t + 2 = 0, すなわち t≠ 二に注意して不等式変形すると
3
S ≧ 3T
=>
PD ≧ 3AD
=>
PD | ≧ 3|AD
⇒
| (-3t+2)AD|≧3|AD
| AD | 0より
|-3t + 2 | ≧ 3
この不等式を解くと
- 3t + 2≦-3,3≦-3t + 2
よって
≦ť答
3
3
1
2
これはt≠
を満たす。
3
3