Question

しろ

この問題のn＝k＋1のときの（A）の左辺のときの計算があまり理解できません。
途中計算教えてください🙇‍♀️

は自然数とする。 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。
(n+1)(n+2)(n+3)……(2n)=2"•1・3・5(2n-1)

Answer 1

長飛丸とら

ちょっと変形が難しいと思いますが、
途中の因数分解の部分は適宜省略したりしながら、ご自身で計算しやすい順でいいです

Answer 2

🍇こつぶ🐡

（A）って何？（A）の左辺が分からないです🙇

しろ

すみません🙇‍♀️説明不足でした。
問題に書かれている等式を（A）としています。

🍇こつぶ🐡

1. n=k のときを仮定する
与えられた等式を (A) とすると、 n=kのとき以下が成り立つと仮定します。
(k+1)(k+2)(k+3)…… (2k)=2^k･1 ･3･ 5･ (2k-1)…①

n=k+1のときの左辺を書き出す
nを k+1 に置き換えると、最後は 2(k+1) = 2k+2になります。
左辺＝(k+1+1)(k+1+2)…… (2k)(2k+1)(2k+2)

これを整理すると：
左辺＝(k+2)(k+3)…… (2k)(2k+1)(2k+2)……②

左辺の計算（ここがポイント！）②の式の中に、仮定①の形 (k+1)(k+2)……(2k)を作り出すために、(k+1)で割って掛ける、あるいは末尾を整理する操作を行います。

末尾の (2k+2)を分解する(2k+2) ＝ 2(k+1)です。これを②の式の最後に代入します。

左辺＝(k+2)(k+3)…… (2k)(2k+1)･2(k+1)

順番を入れ替えて仮定①の形を作る
一番後ろにある 2(k+1)のうち、(k+1) を一番前に持っていきます。
左辺＝(k+1)(k+2)(k+3)……(2k)(2k+1)･2
　　　←　　仮定と同じ　→
仮定①を代入する
上の←　→部分に ①の右辺を代入します。

左辺＝2^k･1･3･ 5……(2k-1)(2k+1)･2

整理して n=k+1の右辺の形にする。
2^k ･2 = 2^{k+1}であり、奇数の積の最後に (2k+1)が加わるので：

左辺＝2^{k+1}･1･3･5…… (2k-1)(2k+1)

n＝k+1でも成り立つことが証明できた。
以上、数学的帰納法で証明終わり(n＝1の時は証明省略してます)。

しろ

ありがとございます！！🙇‍♀️

🍇こつぶ🐡

理解されましたら、解決済みお願いします🙇