(2)で、AとCはどのように互いの確率に影響しているのですか？例えば、くじ引きで引いたくじを戻さないみたいな状況なら、一回目が2回目の確率に影響しているのは分かるのですが…
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基本 71 独立 従属の判定
例題
00000
1個のさいころを2回続けて投げるとき,出る目の数を順にm,n.
m<3である事象をA, 積 mn が奇数である事象を B,
とする。
m-n<5である事象を
Cとするとき, A と B ACはそれぞれ独立か従属かを調べよ。
p.520本
超 事象が独立が従かの判定には、次の関係式のうち確かめやすいものを利用する
ABP(B) P(B) P(A) P(A)
⇔P(A∩B)=P(A)P(B)
(定義)
(乗法定理)
ここでは、乗法定理が成り立つかどうかを確認する方法で調べてみよう。
(AとC) Cについて|m-n <5 を満たす組 (m, n) の総数は多いので、余事象で
を考えてみる。
AとCが独立⇔AとC が独立であることに注目して, ACが独立が従
かを調べる。
基
袋
い
個
2 1
(A & B) P(A)=- 6 3
解答
また,積 mn が奇数となるのは,m, nがともに奇数の (1,5) となる事象である
(m,n)=(1,1),(1,3),
別館 (AとB) A∩Bは、
から
1
3×3_
ときであるから
P(B)=
62
4
3
PA(B)=
1
P(A∩B) 6
P(A)
1
よって
P(A)P(B)=- 12
27
また, m<3かつ積 mn が奇数となるには,
一方,P(B)=
(m,n)=(1,1),(1,3) (15) の3通りがあるから
ら
=1/12 であるか
P(B)=P(B)
3 1
P(A∩B)=
よって, AとBは独立。
62 12
ゆえに
P(A∩B)=P(A)P(B)
よって, AとBは独立である。
(AとC) 余事象では|m-n≧5となる事象, すなわち
(m,n)=(1,6), (61) となる事象である。
この根元事象の個数は
個。
2 1
よってP(C)=
62 18
また PANT)=
1
1
62
36
<AnCはm<3かつ
m-n≧5となる
1 1
1
ゆえに、P(A)P(C)=
であるから
3 18
54
で,そのような (
は (m,n)=(1,
P(ANT) ≠P(A)P (C)
よって, AとCは従属であるから, AとCは従属であ
る。
練習 1枚の硬貨を3回投げる試行で、 1回目に表が出る事象をE,少なくとも2回
② 71 る事象をF, 3回とも同じ面が出る事象をGとする。EとF,EとGはそれ
立か従属かを調べよ。
p.
連投ですみません
>くじ引きで引いたくじを戻さないみたいな状況なら、
>一回目が2回目の確率に影響しているのは分かるのですが…
これは、試行が独立かどうかに関わりますね
たとえば「くじを戻す」ルールなら、試行は独立です
試行1と2が独立なので、
1の結果の事象Xと2の結果の事象Yも独立なのは
感覚的にわかりますね
一方、今回の問題は、試行は独立ですが、
事象A,B,Cのとり方がすぐ上の例とは異なります
Aは試行1だけから決まる事象ですが、
BやCは試行1と試行2の両方から決まる事象なので、
複雑になり、すぐに感覚的に判断がしにくくなります
独立な場合も、そうでない場合もあり得ます