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高2 数学Ⅱ(複素数と方程式)7月進研模試 過去問抜粋 B4 整式P(x) = x3 - (k +4)x2 + (2k+5)x +3k+10がある。 ただし, kは実数の定数とする。 (1) P(-1)の値を求めよ。 (2)3次方程式P(x)=0虚数解をもつようなkの値の範囲を 求めよ。 (3)(2)のとき,3次方程式P(x)の3つの解をα, β,yとする。 (a + 2β)2 + (β +2y)2 + (y+20)²=11となるようなkの値を (配点 20 ) 求めよ。
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解答例
P(x) = x3 -(k+4)x2 + (2k +5)x + 3k + 10
(-1)-(k+4)(-1)^+ (2k+5)・(-1) + 3k + 10
-1-k-4-2k - 5 + 3k + 10
(1) P(-1)
=
=
=
0 圈
因数定理
(2)(1)よりP(x) =0はx=-1を解にもつので, 因数分解すると
1 -(k+4)
(2k+5)
3k+10 | 1
組立除法
-1
k+5
-3k-10
1 -k-5
0
P(x)=(x+1){x2-(k + 5)x + 3k +
3k+10
+10}
P(x) = 0より
x=-1(実数解)
または
x 2 - (k +5)x +3k + 10 = 0 ①
x² − (k+5)x+3k = ·
よって, 虚数解をもつには方程式 ①が虚数解をもつ, すなわち
判別式をDとするとD<0となればよいので
D =
=
(k + 5)2-4(3k + 10)
= k2-2k-15
D<0より
k2-2k-15< 0
(x-a)(x-β) < 0
⇔a<x<β
(k+3)(k-5) < 0
したがって
−3<k<5\
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(3)(2)のとき(-3<k<5) x2 - (k +5)x +3k +100 ...... ①
x² − 5)x+3k 0······①
P(x) =0の解の1つがx=-1だからy=-1とする。
方程式①の2つの解を α,β とすると,解と係数の関係により
Ja+β=k+5 ②
laβ=3k +10 ...... ③
ここで
(a + 2β)2 + (B+2y)2 + (y+20) 2
y =-1
= (a +2β)2 +(B-2)^+(-1+2a)2
=(a²+4aβ+4β2)+(β2-4β+4) + (1-4a + 4a²)
=5(a² + β2)-4(a + β) + 4aβ + 5
対称式変形
=5{(a+B)2-20B}-4(a + β) + 4aβ + 5
= 5(a + ß)² − 4(a + ß) − 6aß +5
-
= 5(k +5)2-4(k + 5) -6(3k +10) + 5
= 5k2 + 28k + 50
② ③を
代入
これが 11 だから
5k2 + 28k +50=11
-3<k<5より
(5k+13)(k+3) = 0
k
=
13
5
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