ページ3:

1 ความหมาย
คณิตศาสตร์ ม.ต้น
เลขยกกำลัง: ความหมายและกฎพื้นฐาน
• a” หมายถึง 4 คูณซ้ำกัน 1 ครั้ง
2x2x2x2x2
n
= 32
•
25
=
.
(-3)²
= 9
(-3)³
-27
ถ้ามีวงเล็บ เครื่องหมายลบจะถูกรวมอยู่ในฐาน
2 กฎของเลขยกกำลัง
1.
2.
3.
4.
5.
am x an
= a
am ÷ an
= a
(am)n = a
(ab)n
a
n
=
mn
anbn
n
a'
bn
'
m+n
m-n
'
เมื่อ a ≠ 0
เมื่อ b ≠ 0
3 ตัวอย่าง
23 x 24 27
•
56 : 52
.
.
= = 128
(32)3 = 36
54 -
= 625
= 729
(2×5) = 22 x 52 = 100
4 ลองทำดู
1) 32 x 35
2) 74 : 72
5 สรุปจำง่าย
.
=
=
=
ฐานเหมือนกัน คูณให้บวกเลขชี้กำลัง
ฐานเหมือนกัน หารให้ลบเลขชี้กำลัง
• ยกกำลังซ้อน ให้คูณเลขชี้กำลัง
หน้า 2
3) (42)2
4) (2×3)
=
=

ページ4:

1
•
•
ความหมาย
ถ้า a
=
คณิตศาสตร์ ม.ต้น
รากที่สอง
b แล้ว √b : = a
รากที่สองคือจํานวน คูณตัวเองแล้วได้ค่านั้น
• โดยปกติ 4 หมายถึงรากที่สองค่าบวกหลัก
• 72 = 49 ดังนั้น √49 7
• 112 = 121 ดังนั้น √121 = 11
2 จํานวนกําลังสองสมบูรณ์
3 ตัวอย่าง
0
64 = 8
12 = 1
72
= 49
22 = 4
82
= 64
32 = 9
92
= 81
42 = 16
102
= 100
52
= 25
112
= 121
62 = 36
122
= 144
• √81 = 9
.
·
√64 + √36 = 8 + 6 = 14
เปรียบเทียบ √25 กับ 36 จะได้ว่า 36 มากกว่า
• 50 ไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ จึงหารากที่สองไม่ลงตัว
ลองทำดู
1) √121
2)
=
144 =
3) จำนวนใดมากกว่า 64 หรือ 7 =
4) 25 เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่
5 สรุปจําง่าย
• ถ้าจำกำลังสองได้ จะหารากที่สองได้เร็วขึ้น
.
จำนวนกำลังสองสมบูรณ์มีรากที่สองเป็นจำนวนเต็ม
รากที่สองเป็นแนวคิดย้อนกลับของกำลังสอง
หน้า 4

ページ5:

คณิตศาสตร์ ม.ต้น
แบบฝึกหัด: เลขยกกำาลังและรากที่สอง
1 A. เลขยกกำลัง
(1)
25
(2) 34 : 32
3) (5)?
4
(5
6
70
2
-4
||
||
เปรียบเทียบ -4 และ (−4)
2 B. รากที่สอง
√169
8
√196
(9) √81 + √16
=
(10
/100
√36
=
(11)
(12)
ถ้า x2
จำนวนใดมากกว่า √121 หรือ 10
=
= 49 และ x เป็นจำนวนบวก แล้ว x =
3 คำแนะนำ
ทำให้ครบก่อน แล้วค่อยเปิดดูเฉลย
• ทบทวนกฎเลขยกกำลังและตารางกำลังสองก่อนทำ
• ตรวจวงเล็บและเครื่องหมายลบให้ดี
หน้า 5

ページ6:

คณิตศาสตร์ ม.ต้น
เฉลยและคำอธิบาย: แบบฝึกหัดหน้า 5
1
32
เพราะ 25
=
2x2x2x2x2 = 32
2 9
เพราะ 34 : 32 = 34-2) 32
=
=
= 9
3
625
เพราะ (52) = 52×2)
=
=
54
== 625
4
1
1
เท
5
16
เพราะ จำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1
เพราะ 2(-4)
6-42 = -16 และ (−4)
เพราะ
1
=
24
16
= 16 เพราะ วงเล็บทำให้ฐานต่างกัน
√169 = 13
7
13
80
14
เพราะ √196
= 14
9 13
เพราะ √81 + √16
9 + 4 = 13
เพราะ √100 – √36
-
= 10 – 6 = 4
10 4
11 /121 มากกว่า เพราะ /121 11 ซึ่งมากกว่า 10
12 7
=
เพราะ x2 = 49 และ x เป็นจำนวนบวก ดังนั้น x =
สรุปจําง่าย
เลขยกกำลัง: ดูฐานและเลขชี้กำลังให้ครบ
เลขชี้กำลังศูนย์และติดลบมีวิธีคิดเฉพาะ
• รากที่สองใช้ความรู้เรื่องกําลังสองช่วยได้มาก
หน้า 6

ページ7:

คณิตศาสตร์ ม.ต้น
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1 จุดประสงค์การเรียนรู้
• เข้าใจความหมายของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
•
.
รู้จักตัวแปร ค่าคงที่ และสัมประสิทธิ์
แก้สมการอย่างง่ายได้อย่างถูกต้อง
• ตรวจคำตอบแทนค่ากลับในสมการได้
3 คำสำคัญ
ตัวแปร
ค่าคงที่
สัมประสิทธิ์
2 ความหมาย
• สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเพียง 1 ตัว
• เลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น 1
• คำตอบของสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการเป็นจริง
x + 5 = 12
'
3y − 7 = 11
2a = 14
,
ตัวอักษรแทนจำนวนที่ยังไม่ทราบค่า
จำนวนที่มีค่าคงเดิม
จำนวนที่คูณอยู่หน้าตัวแปร
ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมาย
=
ค่าที่แทนแล้วทำให้ทั้งสองข้างเท่ากัน
สมการ
คำตอบของสมการ
4 หลักคิดสำคัญ
ทำสิ่งเดียวกันกับทั้งสองข้างของสมการ
• บวกหรือลบจำนวนเท่ากันได้
คูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันได้ (ยกเว้นหารด้วย 0)
เมื่อได้คำตอบแล้ว ควรแทนค่ากลับเพื่อตรวจสอบ
5 ตัวอย่างเร็ว
x + 4 = 9
=>
x = 5
x – 6 = 1
=>
x = 7
6 สรุปจำง่าย
• เป้าหมายคือหาค่าตัวแปรให้เหลือเพียงตัวเดียว
• ใช้สมบัติของสมการอย่างเป็นขั้นตอน
ตรวจคำตอบทุกครั้งเพื่อความถูกต้อง
หน้า 1
3x = 15 → x = 5
x ÷ 4 = 3 → x = 12

ページ8:

คณิตศาสตร์ ม.ต้น
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว: การแก้สมการหลายขั้น
1 หลักคิด
• จัดการค่าคงที่ก่อนหรือคูณ/หารก่อนตามรูปสมการ
• ทำทีละขั้นและเขียนให้ชัดเจน
เมื่อมีวงเล็บ ให้จัดการวงเล็บอย่างถูกต้อง
2 ตัวอย่าง
3
1) 2x + 3 = 11
2) 4x – 5 = 19
x3
+ 4 = 9
4
4) 2(x + 1) = 10
=
2x = 11 – 3
4x = 19 + 5
2x = 8
4x = 24
X3X3
=
9-4
x + 1 = 10 ÷ 2
= 5
x + 1 = 5
x = 4
x = 6
x = 15
x = 4
3 ข้อควรระวัง
• ระวังเครื่องหมายลบ
ระวังลืมหารทั้งสองข้าง
• ตรวจว่าคำตอบแทนกลับแล้วสมการเป็นจริง
4 ลองทำดู
1) 3x + 2 = 17
=
3)
+ 6 = 9
4
=
=
2) 5x – 8 = 12
=
•
5 สรุปจำง่าย
สมการหลายขั้นต้องแก้ทีละชั้น
• ทำย้อนจากสิ่งที่ติดกับตัวแปร
• ตรวจคำตอบเสมอ
หน้า 3
4) 3(x – 2) = 15
=
=

ページ9:

คณิตศาสตร์ ม.ต้น
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว: การแก้สมการขั้นเดียว
1 รูปแบบพื้นฐาน
x + a =
x-a = b
= b
นำ a ไปลบทั้งสองข้าง
นำ 4 ไปบวกทั้งสองข้าง
นำ
a
4 ไปหารทั้งสองข้าง
x ÷ a = b
นำ
a ไปคูณทั้งสองข้าง
ax = = b
2 ตัวอย่างทีละขั้น
x = 4 + 9
1
x + 7 = 15
2 ) x − 9 = 4
3
5x = 35
4 x ÷ 6 = 3
x = 15 – 7
x = 35 ÷ 5
x = 3 x 6
x = 8
x = 7
x = 18
3 ตรวจคำตอบ
x = 13
0 ถ้า x = 8 ในสมการ x + 7 = 15 จะได้ 8 + 7 = 15 √
•
ถ้า x = 7 ในสมการ 5x
=
35 จะได้ 5(7) = 35√
4 ลองทำดู
1) … x + 12 = 20 =
3) 9x = 63
=
4) x ÷ 8 = 7 =
=
2) … x – 5 = 14
=
5 สรุปจำง่าย
.
แยกตัวแปรให้อยู่ลำพัง
ใช้การบวก ลบ คูณ หารอย่างเหมาะสม
• อย่าลืมตรวจคำตอบ
หน้า 2

ページ10:

คณิตศาสตร์ ม.ต้น
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว: โจทย์ปัญหา
1 ขั้นตอนการแปลโจทย์
• อ่านโจทย์และกำหนดตัวแปร เช่น ให้ x แทนจำนวนที่ไม่ทราบ
• แปลข้อความเป็นสมการ
• แก้สมการและตอบให้ตรงคำถาม
• ตรวจความสมเหตุสมผลของคำตอบ
2 ตัวอย่างโจทย์
1 จำนวนหนึ่งบวก 8 ได้ 21
ให้ x แทนจำนวนนั้น
X
สมการ: x + 8 = 21
x = 13
2 สามเท่าของจำนวนหนึ่งลบ 5 ได้ 16
ให้ x แทนจำนวนนั้น
3 จำนวนหนึ่งหารด้วย 4 ได้ 6
ให้ x แทนจำนวนนั้น
x
สมการ: 3x – 5 = 16
สมการ:
= 6
4
3x = 21
x = 24
x = 7
3 ลองทำดู
1) จำนวนหนึ่งลบ 9 ได้ 14 จงหาจำนวนนั้น
2) สองเท่าของจำนวนหนึ่งบวก 3 ได้ 19 จงหาจำนวนนั้น
3) จำนวนหนึ่งหารด้วย 5 ได้ 7 จงหาจำนวนนั้น
4) สี่เท่าของจำนวนหนึ่งลบ 6 ได้ 22 จงหาจำนวนนั้น
4 คำตอบอย่างย่อ
• ข้อ 1 = 23
5 สรุปจำง่าย
|| || || ||
• ข้อ 2 = 8
ข้อ 3 = 35
• ข้อ 4 = 7
• โจทย์ปัญหาต้องเริ่มจากการตั้งตัวแปร
• เขียนสมการให้ตรงกับข้อความ
• คำตอบสุดท้ายต้องสอดคล้องกับโจทย์
หน้า 4

ページ11:

คณิตศาสตร์ ม.ต้น
แบบฝึกหัด: สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1 A. พื้นฐาน
1)
x + 9 = 17
x =
2)
x − 4 = 10
x =
3)
6x = 42
x =
4)
x ÷ 5 = 7
x =
5)
2x + 3 = 15
x =
6) 4x 5 = 19
x =
7)
2 B. ประยุกต์และหลายขั้น
2 + 6 = 10
x =
8) 3(x – 1)
-
= 12
x =
9)
5x + 7 = 2x + 19
x =
10)
7x 4 = 3x + 20
x =
11) 2(x + 4) = 18
x =
12) 0.5x + 2 = 8
3 คำแนะนำ
• ทำให้ครบก่อน แล้วค่อยเปิดดูเฉลย
เขียนวิธีทำทุกข้อเพื่อฝึกความเข้าใจ
• ตรวจเครื่องหมายและวงเล็บให้ดี
หน้า 5
x =

ページ12:

คณิตศาสตร์ ม.ต้น
เฉลยและคำอธิบาย: แบบฝึกหัดหน้า 5
1
x = 8
เพราะ 17 – 9 = 8
2 x = 14
เพราะ 10 + 4 = 14
3
x = 7
เพราะ 42 ÷ 6 = 7
=
4
x = 35
เพราะ 7 × 5 = 35
5
01
x = 6
เพราะ 2x + 3 = 15 → 2x = 12 →
x = 6
60
x = 6
-
เพราะ 4x – 5 = 19 = 4x
= 24 → x = 6
x
7
x = 8
x
เพราะ
+ 6 = 10 →
= 4 → x = 8
2
2
8
co
x = = 5
เพราะ 3(x - 1)
=
12 → x − 1 = 4 → x =
= 5
6
x = 4
เพราะ 5x + 7
= 2x + 19 → 3x
=
12 → x = 4
10
x = 6
=
เพราะ 7x – 4 = 3x + 20 → 4x = 24 → x = 6
=
11
x = 5
เพราะ 2(x + 4)
= 18 → x + 4
= 9 = x = 5
12
x = 12
เพราะ 0.5x + 2
= 8 = 0.5x = 6 => x =
12
2 สรุปจำง่าย
• แก้สมการโดยทำให้ตัวแปรอยู่ลำพัง
• สมการหลายขั้นต้องจัดการทีละขั้น
• ตรวจคำตอบทุกครั้งเพื่อความแม่นยำ
หน้า 6