ノートテキスト
ページ1:
Z4 p を定数とする。 数列{a}を
a=3, a4=9, a1=a+p (n = 1, 2, 3, ...)
によって定める。 また,g を正の定数とし, 数列{b,}を
(n=1,
b=4,b=b+4a+g (n = 1, 2, 3, ...)
n+1
n
によって定める。
n
(1) pの値を求めよ。 また, a を n を用いて表せ。
b.
(2) b„をn, gを用いて表せ。また, lim”を求めよ。
n→∞ n
2
n
n→∞
(3) lim (a„ - √) = ½-½
⑩.)-1/2となる
となるようなqの値を求めよ。
n
(配点 40 )
ページ2:
令和7年度 総合学力記述模試 ・7月 高3@自学
~ 数列の極限~
(1)a=3,am+1= a + pより, 数列{a, } は初項 3, 公差 p の
n
n
等差数列だから
a„=3+(n-1)p
と表せる。
a =9より
a4
a4=3+3p=9
p = 2
■ 数列{a}は初項 3, 公差 2 の等差数列だから
n
=3+(n-1)x2
n
an
=
=2n+1
ページ3:
b. n+1 (2) (1)より ► (1)¹) n b₁₁₁ = b + 4× (2n+1)+q b. = b₂ +(8n+4+q) n+1 n ①は階差数列型の漸化式だから n≧2のとき bn n n-1 = b₁ + Σ (8k + 4 + q) k=1 =4+8×1/2(- = 4+8x=(n−1)(n+1+1)+4(n − 1) + q(n − 1) = = 4n² + qn-q これはn=1のときにも成り立つ。 b = 4n² + qn−q n b. lim n = lim 4n² + qn-q = lim 4+ 2 n→∞ n→∞ n→∞ n 2 n q n - q n 2 = 4
ページ4:
(3) (1), (2)より b. an - √b n == =(2n+1)-v4m²+qn-q = 分子の有理化 (2n+1)-√4m² +gn-g}(2n+1)+√4m² +qn-g (2n+1) +√4n²+qn-q (2n+1)^ -(4n² +qn - g) (2n+1)+√4n+qn-q 4n-qn+1+q (2n+1)+√4m² +qn-q よって lim (am ― n n→∞ 16円 lim n = n→∞ 4n-gn +1+q (2n+1) + v4m² + qn-q 分母の最高次 = で分母分子を わる 1 q 4-g+ = lim n n n→∞ 1 2+ + 4 + n 4-g +0 +0 q q 2 n n 2 + 0 + √4 + 0 + 0 = 1 - q 4 これが 1/2となるとき 1-2-12 g=24>0を満たす) 2 4
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