ページ3:

解答例
(1) A={1, 3, 3a-2}, B={-5, a+2, a2-2a +1}
▷ A∩B={1, 4}だから3a-2が1か4
i) 3a-2=1, つまり α = 1 のとき A = {1,3}となり4を含まない
から不適。
ii) 3a-2=4, つまり α = 2 のときA = {1, 3, 4}となり
B = {-5, 1, 4}となるからおk。
答 a=2
(2)答 『 x2 + y2=0であり, x≠0または y≠0である実数x, yがある。』
(3) ① xy+1=x+y xy-x-(y-1)=0
(x-1)(x-1)=0
2x=1または y=1
=
x, yのうち少なくとも1つは1
同値だから 答 必要十分条件である 3
②(a-1)(b-1) > 0
α-1> 0 かつb-1> 0
-α > 1 かつb > 1
または
または
α-1 < 0かつb-1 < 0
a <1かつb <1
a + b > 2だから α > 1かつb>1
よって, 同値だから 答 必要十分条件である 3

ページ4:

1
つづき
(4) y = x2 - 2ax+2a=(x-a)2-a² +2a軸 x=a
頂点(a, -a2+2a)
0<a<2だから軸は定義域の中央より左にあるのでx=4のと
最大となり, 最大値 10をとる。
よって
10=42−2a4 +2a
a =1 答
(5)2x+y=1 y=-2x+1 を x2+y^に代入すると
x2 + y2 = x2 + (−2x + 1)2
= 5x2 -4x +1
=5(x
-2332+1/3頂点(
5
5
これは下に凸の放物線をグラフにもつ関数だから,
fin
2
x=-
1
1/23y=2のとき最小値1をとる。答
5
5
5

ページ5:

2
2
a²
+b
a
a²
by=x+ax+b=(x+2 -4tb 頂点(-1/2-2/42+b)
▷ 原点について対称移動すると
a
頂点(
▷ x軸方向に-1, y 軸方向に8だけ平行移動
2
a²
2 4
頂点(
a
2
a²
2
b+8
-b)
a2
1, -6+8)
4
y=(x-22+1)2 +
これが
==
2
a
4
a
--x²+2(-1)x-(-1)²+b+
6 +8
4
=-x2+(a-2)x+a-b+7 ...... ①
y=-x+5x+11
②
la-2=5
と等しいから, ①と②の係数をみくらべて
a-b+7=11
答 a=7,b=3

ページ6:

3 4 次関数の最大・最小 → おきかえて2次関数に帰着させます。
(1) t = x2 + 2x + 2 = (x +1)^ +1 答 t≧1
※下に凸の放物線
(2) f(x) = (x² + 2x + 2)² − 2a(x² +2x+2)+a
=12-2a+α
=(t-a)2-a2+α 軸:x=a
t≧1の範囲でグラフをおえかきすると
i) a <1のとき
だから最小値以上
ii) 1≦αのとき
x=a1
m=f(1)
m=f(a)
1 x=a
m = f(1) = -a +1
m = f (a) = −a² + a
2
答 a<1のときm=-a+11≦ a のとき m = -d² + α
2
※ 不等号の=は, どっちかにつければいいよ。
(答えはあくまでmの値を求めることだから深く考えない)

ページ7:

(1) f(x)=x^ - 6x + 10 = (x-3)2 +1 頂点(3, 1)答
(2)(1) で求めた頂点をx軸方向に-1, y 軸方向に α+1だけ平行移動
すると
(3-1, 1+(a+1)) ∴ ( 2, a +2)答
よってg(x)=(x-2)2 + a +2
5
であり,軸 x = 2が定義域の中央x=- より左にあるからg(x) は
x=5のとき最大値 10 をとるので
2
f(5) =10 ∴ f(5)=(5-2)2 +α + 2 =10
∴a = -1 答

ページ8:

(3) a=-1より
g(x)=(x-2)^+1 軸: x=2/頂点(2,1)
@0≦x≦kだから
放物線の対称性(f(0)=f(4))から次の三つに分けて考えてみます。
ア 0 < k < 2
(ア
0<k<2のとき
2 ≤ k < 4
M = f(0)=5
m = f(k) = k² - 4k+5
M-m=k+2より
5-(k²-4k+5)=k+2
-
.. (k − 1)(k − 2) = 0
条件より k = 1
M
x=2
m
0 k
イ 2≦k < 4のとき
[ M = ƒ (0) = ƒ (4) = 5
|m = f(2) = 1
M-m=k+2より
5-1=k+2
.. k = 2
これは条件を満たす。
ウ
4≦kのとき
[ M = f(k) = k² − 4k +5
m = f(2) = 1
M-m=k+2より
(k² − 4k + 5) − 1 = k +2
M
x = 2
4≤k
m
0
k 4
x = 2
M
k² - 5k+2=0
5±√17
m
0
4k
. k
2
5+√17
条件より
k
ア イ ウ より k = 1, 2,
5+√17
2
2
答