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|B7 公比が正の等比数列{a}があり, a4=2,a=8を満たし
ている。 また, 等差数列{b,}があり, b3 = 25, abs+ b = 40を満
たしている。 数列{b} の初項から第n項までの和をSとする。
(1)数列{a}の一般項 αをnを用いて表せ。
6
n
(2) 数列{b,}の一般項bをnを用いて表せ。 また, S, を最大に
n
する自然数 n をMとする。 M, Syの値をそれぞれ求めよ。
(3)a> 2025 を満たす最小の自然数 n を Nとする。 N の値を
n
N 1
求めよ。 また,このとき,
k=1
bkbk
kk+1
−を求めよ。
(配点 20)
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令和7年度 総合学力記述模試 ・ 7月 高2@自学 初項 (1) ► 公比 ~ 数列~ an =ar" とおく。 α4=2より (a≠0,r> 0) a6=8より ar3 =2 ① a,.r' =8 ・② 等比数列 ② ①より r=2を①に代入して よって 整理すると r2=4 ∴r=2 (r> 0) a₁ ∴a = 23 1 4 1 an =- an = 4 = 2 2- 2 ·2n-1 2"-3
ページ3:
(2)
初項
公差
bm=b,+(n-1) dとおく。
63=25
より b, + 2d = 25
…①
bs+ b = 40
より
(b, + 4d)+(b, + 5d) = 40
∴. 2b + 9d = 40 ...... ②
② ①×2より
これと①より
よって
d=-2
b, + 2×(-2) = 25
∴. b = 29
等差数列
b = 29+(n-1)×(-2)
n
整理すると
b = -2n+31
n
だんだんちっちゃく
b > 0 より
n
:
なる数列
よって, 数列{b}は初項から第 15項までが正だから
n
- 2n + 31 > 0
n<15.5
シグマ公式
M = 15
n
S₁ = Σ bk
20k=-2x_
k=1
2
=-2x-n(n+1) +31n = -n² +30n
n = M = 15 を代入してSM = -152+ 30×15
= 225
ページ4:
(3)
an
=
27-3
=-
8
・2"> 2025 より 2">16200
2'3=8192,214 16384 より
=
n≧14
N=14
よって
N
1
ひっくり返ったら十中八九ドミノ型
k=1
bb
bkbk+1
1
2k +29
=
=
=
14
k=1
14
k=1
1
(-2k +31){-2(k + 1) + 31}
1
(-2k+31)(-2k+29)
14
2
k=1
-
1
-2k +31
部分分数分解
1
1
\1
1
=
+
+
+
2
27
29
25 27
3
5
1
1
+1
2
29
14
=
29
+}
ドミノ型数列
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