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ガウス積分の導出(高校数学範囲) ☆ exdxを求めよう →普通にやっても解けない積分・・・・ ① 導入:ウォリス積分 In = xdxを考えると、 In=1 11 sinx. in 1x de [= cos x • sin" x 0 D 部分積分 12 COSX (1) SH x cosxde (n-1) 0 2 1~2 cos x-sh xdx 1~2 (n-1) √ * (1 - sux) sin ³ ³ x dx 0 (n-1) (In-2-In) 式を整理して、In=In2. cosxdxも 同様の結果になる! ID=II=1だから、 n-n-3 In れ In n n-3 1-2 n 2.1 (not 1.匹(偶数) 2 2
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よって、nが奇数でも偶数でも、 In In-1 = n n-2 1-3 1-4, N N1 N2 11-3 !nInIn=聖 ここで、xが0からきまでの区間では sihx ≥ anx ≥ ≥ sinx tabs ミsxだから 21π 1 322 In> Intl つまり InInticIncInInl ひをかけて整理すると n N+1 2 (N+1) In In+1 < nIn < n In In- 仕事 くれく剄 lim 1 + 1/16 I I=聖だから、 はよみうちの原理からliann In = 1 2 → よって、 lim √n In = VAPO
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②本編 y=exax=0における接線は y'=ex より y=e(x-0)+ピ 〃 y=x+1 Sto y y=ex y=x+1 平 x つまり x≧0では≧1+x X--X812 ex = 1-x x20では1-xsens X→ 嘘とすると x≧0では1-2 η乗して、 x≧0では(1号) D≦x≦の積分を考えると e 1+x + 1+x + (什器) dxc x2 edx≦ dx (什器)
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x=singと置換すると dx = √n cost do, x10 + √n M (1- •)"dx 0 00+ 1. √n 24 cos O. In cos O do 受 0 211+1 cos o do √n I2n+1 n = 121111 [2001 0 24₤1 x=「ntanを置換すると、 M dx = do 0028 dx ☐ (1+225 (+税) 0755 01074 = 0 1 (1 + tan²01" cos D 24-2 005 Odo < n cos 24-2 Odo de れ 2n-2 Ian-2 ② 241-2 ①②より 1antlantic dx < n 2-2 2 201 12n-2
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lin → 2n+1 W Intl Ientl = lim n [n-1 Jan-2 = 41+00 24-2 はよみろちの原理から、 lin S J -22 edx= 11200 2 e dx= 2 x2 e は偶関数より、 42 -∞ e 1 76 1 11 dx = √π 尻 2
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