数学的帰納法で証明しないといけないんですか！？
考えてもいなかったです

nを消す方ですよね？
特性方程式はあまり使われないんですか？
わかりました、両方解けるようにしっかり理解しておきます

まあ、時間があれば、キチンと書けばよいだけで、時間がない場合は最終手段として一気に公式で数列anを求めてしまえばいいと思います。

全然いいと思いますよ。公式というより、本質的な部分なので。むしろ、初項a1はなんとか、公比はなんとかなので、an=〜ってフォーマットになるのかな。
数列を書き出して推測した場合は、この公式でanを求めたあと数学的帰納法で数列の一般化を計って証明する必要がありますが…。

解法パターン→上の方の方法が一番簡単ですね。
本質的なのは下の方。たまに下の方の形を変形していくって入試問題があるので、一から作る場合は上の方ですが、臨機応変に対応できるようにどちらも出来た方がよいです。