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その少し上のところから解説します。
2接線が直交するための条件として
(a)mの2次方程式が異なる2つの実数解をもつ
(b)2接線の傾きの積が-1になる
があります。
※(a)は楕円と接する条件を満たす直線の傾きが実数として2つ存在すること、とも言い換えられます。接線が2つ存在しなければ直交するも何も言えません。
①の解をm₁, m₂とおきます。こうやっておいただけではm₁=m₂の可能性もあるし、虚数解の可能性もあります。
実数解であろうと重解であろうと虚数解であろうと何であろうと、解と係数の関係はいつでも成り立ちます。
したがって、m₁m₂=-1としただけではm₁, m₂が虚数解である可能性もあるわけなので、きちんとこの2つが実数解であるかどうかを調べなければなりません。
そのため、m₁m₂=-1のとき判別式がDm＞0を満たすかどうかを確認しています。
(2次方程式がax²+2b'x+c=0のような場合には判別式としてD/4を計算すると楽です。このときD/4=b'²-acとなります。)
Dm/4=a²b²-(a²-17)(8-b²)
↓m₁m₂=-1のとき8-b²=17-a²なので代入
Dm/4=a²b²-(a²-17)(17-a²)
=a²b²+(a²-17)²
(実数)²≧0で、今a²-17≠0すなわち|a²-17|＞0だから
Dm/4=a²b²+(a²-17)²＞0
よってm₁m₂=-1のときは必ずDm/4＞0となることが言えたから、このとき2接線が存在し、かつ直交することが言える。したがってa,bの満たすべき条件式はm₁m₂=-1だけである(これを満たすときには必ずDm>0になるから)。変形すると
a²+b²=25 (a≠±√17)
となる。
傾きの値が実数であるということを示さなければいけなかったんですね。よく分かりました。詳しく説明していただき、本当にありがとうございました！