Question

あやか

この問題の解き方教えて欲しいです

電代気郊 数学題No5「ペクトルと役分」
2 次のスカラー関粗のGO = ゅ(myのの勾配を求めなさい。

 
 
   
  

 

ミスカラター関数の勾配>

9の
2ゅ 9》 9あゆ) 99 99 」 9の。
mwdeの=Peの=(充あの をの 胡

  

  

科配はベクトルとなる。

(⑳ 難易度A
(むふ) ぁG)=ュyz

(2) み@@⑦)=ニェャタオキッタキァ2(ーァ2)

(3) の@⑦) =のナオのアイggz(王7) (guの,gzは定数、gは定ベクトル)

Answer 1

ウンウントリウム

スカラー値関数φをxで偏微分したもの、yで偏微分したもの、zで偏微分したものをそれぞれベクトルの成分とする勾配ベクトルを求める問題です。

例えば(1)では、
φ=xyzで、これをxで偏微分すると(y,zを定数とみて)、yzとなります。
同様にしてyで偏微分すると、xz、
zで偏微分すると、xyとなります。
これらがそれぞれベクトルのx,y,z成分となるので、
答えは(yz, xz, xy)となります。

同じようにその他の問題もやってみて下さい。
気になるところがあれば言ってください。

あやか

(2)(3)の(=r^2)(=a.r)は何を意味するんですか？

ウンウントリウム

rベクトルは3次元空間内の位置を表していると思ってください。そして、x,y,zはその座標です。
つまり、rベクトル=(x,y,z)と表現でき、r^2=x^2+y^2+z^2となります。

※φは座標によって決まるスカラー値であるということです。

r^2は原点からの距離の二乗ですので、φの値は原点を中心に球対称分布していることが分かります。
(原点から離れれば離れるほどφの値は大きくなる)

定ベクトルa=(ax,ay,az)、rベクトル=(x,y,z)とすると、これらの内積であるa･r=axx+ayy+azzです。

この勾配は(ax,ay,az)となりますので、勾配ベクトル=定ベクトルaとなっていることが分かります。

つまり、勾配は3次元空間内の位置によらず一定だということです。

質問の意図に対してちゃんと答えられているか分かりませんがこんな感じです。