不等式の処理にも注意したいところです. 苦手なら復習しましょう.
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(1)xは実数なのでx/(1+2x)も実数です.
分かりにくいのでa=x/(1+2x)と置きかえると, a^nが収束する条件を聞かれていることになります.
この等比数列の収束は, 絶対値|a|<1ならば0へ, a=1ならば1[これはずっと1]へそれぞれ収束します.
[a=-1のときは振動するから注意しよう.]
したがって-1<x/(1+2x)≦1であればよいことになります.
(1+2x)^2>0[正の数を掛けると不等号の向きは変わりません]を全体にかけると,
-(1+2x)^2<x(1+2x)≦(1+2x)^2
⇔{x+(1+2x)}(1+2x)>0かつ{(1+2x)-x}(1+2x)≧0
⇔(3x+1)(2x+1)>0かつ(x+1)(2x+1)≧0
⇔x≦-1, -1/3<xで, これが求める範囲です.
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(2)これも等比数列ですが, 少し工夫して捉える必要があります.
{x/(x^2-5x+5)}*(x^-5x+5)^n, すなわち初項x/(x^2-5x+5), 公比x^2-5x+5の等比数列とみなします.
まず初項が0ならば, すべての項が0となります. したがってx=0のときは収束します.
x≠0のときは(1)と同じで, -1<x^2-5x+5≦1であれば収束します.
これを解くとx^-5x+6>0かつx^-5x+4≦0⇔(x-2)(x-3)>0かつ(x-1)(x-4)≦0⇔1≦x<2, 3<x≦4
以上からx=0, 1≦x<2, 3<x≦4のとき収束します.
訂正しきれていませんでしたね.
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[訂正]
(2) 初項x, 公比x^2-5x+5の等比数列とみなします.
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等比数列の一般項はa[n]=a[1]*r^(n-1)なので, a[1]=x, r=x^2-5x+5です.
[訂正]
(2) 初項x/(x^2-5x+5), 公比x^2-5x+5の等比数列とみなします.
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等比数列の一般項はa[n]=a[1]*r^(n-1)なので, a[1]=x, r=x^2-5x+5です.