対偶を証明すればいいと思います
a≠cまたはb≠d⇒a+b√3≠c+d√3
a≠cまたはb≠dの時
a+b√3=c+d√3 が成り立つと仮定すると
(b-d)√3=c-a
b=dの場合、a=cとなるので成り立たない
b≠dの場合
√3=(c-a)/(b-d)
c-a=p,b-d=qとすると
a、b、c、dが有理数であることからp,qも有理数である
√3=p/q となり√3が無理数であるため矛盾する
よって
a≠cまたはb≠d⇒a+b√3≠c+d√3
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