割り算ってケーキ7個を5人で分けるみたいな状況だと7分の5個みたいな感じで、すべてのケーキを一人当たりの量が同じになるよう均等に分ける手段なので、余りは割り算しただけでは出てきませんよ。
回答
6x+4を6で割ろうとするのではなくて、そもそもこの形自体がまさに、「6の倍数+4」を表しているから、6で割ったら余りが4になると考えるべきです。
筆算で考えればわかると思いますが、余りを出したい時と割り算したい時って微妙に操作が違って、答えも違ったじゃないですか。
あんな感じで、余りを出すときって単純に割るだけじゃダメで、むしろ一旦別の操作と考えた方がいいと思いますよ。
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じゃあ余りはどうやって出すのかというと、筆算か剰余の定理のどちらかです。
それ以外の手段（単に割り算するだけとか）では求められません。