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等比数列の前に余計なものがかかっているので、これをどうにかしないといけないですよね。うまいこと工夫して計算することで等比数列に帰着させられます。
S=1∙1+3∙2+5∙2²+…
の両辺に2をかけると
2S=1∙2+3∙2²+5∙2³+…
となります。1,3,5にかかっている2の指数が1こ上がるのがポイントです。辺々を引いてやると
S-2S=1∙1+(3∙2-1∙2)+(5∙2²-3∙2²)+…
-S=1∙1+(3-1)∙2+(5-3)∙2²+…
=1∙1+2∙2+2∙2²+…
というように、2の等比数列の前にかかる係数が一定になり、等比数列の和として計算できるようになります。
このうまい工夫は覚えておかないといけません。
[まとめ]
S=a+(a+d)r+(a+2d)r²+…
というような(等差数列)×(等比数列)の和の解法パターン。
①rをかける。
②辺々を引く。
③等比数列に帰着し、和の公式を用いる。
219
分母の有理化により、引き算で打ち消せるパターンを作り出します。
そういうもんです。定石として解法を覚えてしまいましょう。
218(1)まとめられるところはまとめたほうがきれいでいいよね、という話です。2ⁿでまとめます。
-S=1+2∙2(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1)-(2n-1)∙2ⁿ
-S=1+2²∙2ⁿ⁻¹-4-(2n-1)∙2ⁿ
-S=-3+2∙2ⁿ-(2n-1)∙2ⁿ
↓2ⁿでくくれるところはくくってやる
-S=-3+{2-(2n-1)}∙2ⁿ
-S=(3-2n)∙2ⁿ-3
-S=(3-2n)∙2ⁿ-3
S=-(3-2n)∙2ⁿ+3
S=(2n-3)∙2ⁿ+3
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分母: (k+2)-k=2
∑記号: k=1,k=2,k=3,…と順に代入して和を取ると、+と-で打ち消し合う項がある(√3,√4,…)。ただし、-√1,-√2と打ち消し合う+√1,+√2の項がないので-√1,-√2は残る。+√(n+1),+√(n+2)も同様に、打ち消し合う-√(n+1),-√(n+2)の項がないため残る。
返信遅くなってすみません💦マーカーで引いたところの式変形がどうしてもわからないです！詳しく教えて欲しいです、お願いします🙇♂️