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数列の漸化式でシンプルに解くことができる形は、以下の２種類
１）a(n+1)=a(n) + b(n) :階差数列 b(n) からa(n) を求めるパタン
２）a(n+1)=r・a(n) ：等比数列の基本形からa(n) を求めるパタン
今回、問題で与えられた式は
a(n+1) = 3a(n) -6n+7
なので、-6n+7 以外を見れば等比数列の形である。
なので、式の変形により、簡単な等比数列型の漸化式に変形できないか？と考えたとき、
-6n+7 の部分が、「a(n+1) = 3a(n)」に取り込まれるように変形したい！という考え方になる。
問題で変形された漸化式ををみると、
a(n+1) +p・(n+1)+q = r(a(n) +p・n+q)
この式の見方を少し変えると、
a(n+1) = r・a(n) ・・・①
p・(n+1) +q = r(p・n +q) ・・・②
の二つの式を足したものになっています。
さらに、下側の
②の式において、
b(n) = p・n +q と置くと、②は、
b(n+1) = r・b(n) と書けます。
これを、改めて、①の式と足し算すると
a(n+1) = r・a(n)
b(n+1) = r・b(n)
なので、
a(n+1)+b(n+1) = r(a(n)+b(n))
となり、シンプルな等比数列の漸化式になりました。
（ 見にくければ、 c(n) = a(n)+b(n) と置いて書き換えると、c(n+1) = r・c(n) となります。）
つまり、考え方の順番は、
与えられた式を、わかりやすい等比数列の式に変形したい。
変形するのに邪魔な部分（ -6n+7 ） をうまいこと等比数列の型に変形したい。
もし、変形できたならば、p・(n+1) +q = r(p・n +q) の形にできるはず！
だったら、変形できる前提で係数を仮置きして、決定してしまおう、というものです。
不明な点あれば、ご質問ください。
丁寧にありがとうございます😭助かりました。