Question

Clearnoteユーザー

　数学Ⅰ青チャートを持っている方に質問です。
　数学Iの重要例題118についての質問なのですが、条件として、「x,yがx^2+y^2=1を満たす」とあるのが影響して、「-1≦x≦1」となるのだと思うのですが、そこで疑問です。何故、yの範囲は限定しなくても良いのでしょうか？というかそもそも、「x^2+y^2=1」という式からx,yを限定しようとすると限りがないのではないのでしょうか？何故かというと、自分が考えたところでは、xをまず限定すると、それによってy も限定され、またそれによってさらにxが限定されということが続くのではないかなと思ったからです。それは文字が二つあるからなのでしょうか？それはともかく、何故、yの値も限定しなくても最後にxからyを導く時に支障が出ないのでしょうか？「x^2+y^2=1を満たす」ということが、一体どういうことなのかもよくわからないので、それも併せて教えていただきたいです。
　分かりにくい質問とは思いますが、教えていただきたいです。よろしくお願いします。

Answer 1

ケスト

-1≦x≦1の任意のxに対して(-1≦y≦1の範囲内で)1つまたは2つのyが対応するから

y²=1-x²
y²≧0より1-x²≧0
∴-1≦x≦1
青チャートを持ってないので憶測にすぎないのですがおそらくこんなことが書いてあると思います
これを単なる式変形のように捉えているのかと思いますが、同値変形(つまり、下から上にも辿れる)です
(変形ではないけどまあそこは許して)
つまり、-1≦x≦1であればy²≧0となり実数yが1つあるいは2つに定まります

Clearnoteユーザー

　つまり、xを限定すると同時にyも限定されるということでしょうか？
　試しに最初にxを限定せず、「x^2=-2y^2+1」として、「0≦-2y^2+1」として、最初にyの値を限定してみましたが、ここで出てきた値は、最初にxを限定した際のxの値と関係があるのでしょうか？言い換えれば、xを最初に限定したときのxの値の範囲での、yのとりうる範囲は、yを最初に限定したときのyの値の範囲と同じになるのでしょうか？

Clearnoteユーザー

分かりにくい質問何度もすみません。

ケスト

質問の意図が汲み取れないです、、
-1≦x≦1,-1≦y≦1は限定されますよ
代数的に捉えれば(実数)²≧0を用いればわかる話で
数IIの図形と方程式を習うとより視覚的にわかりますよ

Clearnoteユーザー

すみませんでした。もう少し勉強が進んでから考えてみます。ありがとうございました😊

Clearnoteユーザー

　理解しました。
　確かに同値変形で絞ったxの範囲は
①そのxの範囲が実数範囲である
②そのxの範囲に過不足なくyが実数の範囲で対応している
という2点で同値ということですね。
ありがとうございました。