Question

ハル

この問題の解き方がわかりません。教えてください🙇🙇🙇

をを定数とし, 関数 (*) ニァ9十3z2二Sgx一4 は, *ニ で極大侍をとり, ニーB で格
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次の問いに答えよ。・
(1) 余り A(x) を求めよ。

(② 7) ニ(g) であることを示せ。

(3③) 極大値と極小値わ和が0 と なるようなょの値を来めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

f(x) = x³ + 3x² + 3kx - 4 は x=α で極大値、x=β で極小値を取るので

f'(x) = 3x² + 6x + 3k = 0 は x=α,βを2解に持つことになります。
　グラフの形状から α＜β

また 解と係数の関係より
　α + β = -2
　αβ = k

を踏まえて

(1)
　f'(x) = 3x² + 6x + 3k より

　f(x) = f'(x) * Q(x) + R(x) とすると

　　Q(x) = (x + 1)/3

　　R(x) = 2(k-1)x - (k+4)

(2)
　x=α で 極大値を持つことから f'(α) = 0 となる。

　f(x) = f'(x) * Q(x) + R(x) より

　f(α) = f'(α) * Q(α) + R(α) = 0 * Q(α) + R(α) = R(α)

(3)
　α + β = -2
　αβ = k

　より

　α² + β² = (α + β)² - 2αβ = (-2)² - 2*k = 4 - 2k

　α³ + β³ = (α + β)³ - 3αβ(α+β) = (-2)³ - 3*k*(-2) = -8 + 6k

　f(α) + f(β) = α³ + 3α² + 3kα - 4 + β³ + 3β² + 3kβ - 4

　　　　　　　　= (α³ + β³) + 3(α² + β²) + 3k(α + β) - 8

　　　　　　　　= (-8 + 6k) + 3(4 - 2k) + 3k*(-2) - 8
　　　　　　　　= -6k - 4 = 0

　∴　k = -2/3

ハル

理解できました！ありがとうございました🙇🙇🙇