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特殊解型と呼ばれる漸化式のため、a(n)とa(n+1)をαに置き換えた特性方程式α=pα+qを用いて計算します。
特性方程式を使ってα=2α+3 α=-3
これを使って式を変形して
a(n+1)+3=2(a(n)+3)
a(n)+3=b(n)とおく。
b(n+1)=2b(n)
これは等比数列の形なので
b(n)=b(1)･2^(n-1)
=2^(n+1)
b(n)=a(n)+3なので
a(n)+3=2^(n+1)
a(n)=2^(n+1)-3
同様に⑵も解けます。
特性方程式についての解説です。
a(n+1)=p･a(n)+q …①を扱いやすいように等比数列の形に変形させます。
変形させたものは
a(n+1)-α=p(a(n)-α) …②となるはずです。
ではこのαがどんなものであるかというのを求めるのが特性方程式です。
②を展開して
a(n+1)-α=p･a(n)-pα …③
③-①で
-α=-pα-q
符号を整えて
α=pα+q
と導けます。
α=pα+qを使ってαを求めることで元の①の形から②の形まで出せる訳ですね。(これが特殊解型の解法です)