Question

K

写真1枚目の問題の(3)についてです。写真2,3枚目が解答なのですが、写真3枚目の囲ってある部分がよく理解できません。(※(1)で{an}の初項は15、公差は8、(2)でbn=2^n-1と求めています。)

B5
数列(40 点)
等差数列 {a}があり, as=31, a7=63 を満たしている。また, 数列{b}があり, bi=1,
bn+1 = 26m+1 (n=1, 2, 3, ) を満たしている。
(1) 数列 {an}の初項と公差を求めよ。
(2) 数列{b}の一般項 bnをnを用いて表せ。
(3) 数列 {a.} の項のうち, 数列 {b。}の項を除いて,小さいものから順に並べた数列を{c}
40
とする。このとき,2cを求めよ。 S
1O

(1)より
AL
an= 15+(n-1)·8 = 8n+7

数列 {a}と数列 {b} を初項から順に書き並べると
{an}:15, 23, 31, 39, 47, 55, 63, 71, 79, 87,
{b}:1, 3, 7, 15, 31, 63,
ここで、数列 {a}の第1項が数列 {b.} の第m項(m24)と一致すると
仮定すると
BD
お
87+7 = 2"-1
1= 2"-3-1
m24 であるから, 右辺は自然数となり,この等式を満たす自然数1は存在
する。したがって, n24 のとき, 数列 {b} の項はすべて数列 {an} の項に
含まれる。
次に
Q40 = 327
D口
b8=2°-1=255, b9 = 2°-1= 511
Q45 = 367
であるから,数列 {c}の初項から第40項までの数列は, 数列 {am}の初項か
ら第45項までの数列から, 数列 {b}の第4項から第8項までの5つの項を
除いたものとなる。よって
A
40
45
8
=2a-2 be
k=4
45(2-15+8 (45-1)}-(15+31+63+127+255)
2
三
= 45(15+4·44)-491
こ
= 8595-491
ニ
=8104
ア民護 S出会
G口
圏 8104
もな

Answer 1

ぽっきぃ

m,ℓの関係式から
a1＝b4
a3＝b5
a7＝b6
a15＝b7
a31＝b8...ということから
求めるものは数列anの項のうち,数列bnの項を除いて小さいものから並べた数列cnの初項から第40項までの和。
anだけの項ならa1からa40まで足し合わせたものだがbnの項を除く,すなわち,a1,a3,a7,a15,a31の5つの項は除外すると35個までしか足し合わせてないことになるのでa41,a42,a43,a44,a45を加えるということになります。
したがって,a1からa45までの和からb4からb8までの和を引くということになります。