Question

まっちゃ

解説読んでもわからなかったので、解き方を教えてください！🙇🏻‍♀️

✓ 15 二項定理を用いて, 次のことを証明せよ。 ただし, nは3以上の整数とする。
n
((1+1)">2
n
( x>0 のとき (1+x)">1+nx+n(n-1)
2

15
指針
二項定理の展開式の一部に着目することによ
って、不等式を導く。
等式P=Q+R (R> 0) に対して, 不等式
P>Qが成り立つ。
二項定理により
(a+b)"=,Coa"+Cal+Ca-262
+....+.C_b ......
(1)a=1,b=とすると
n
(1+1)=C₁+. C₁ 11+. C++11
++C
C00であるから,#23のとき
C++,C>0
①
よって
(1+1)* > .C₁+.C₁11
すなわち 11
(1+1) " > 1 + = -1/1/1
n
したがって (1+21) > 2
(2) ① =1, b=x とすると

(1+x)" =,C+,C+, Ca2+, Ca3
C>0, x>0であるから, n≧3のとき
(1+x)”>,Co+, Cx+,C,
n
C3x³ ++Cx">0
よって
n
したがって (1+x)" >1+nx+
n(n-1)
2
X
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

解き方を教えてほしいとのことですが、模範解答に書いてあるとおりの解き方だとしか言えないので、もう少し具体的に、模範解答のどこがどうわからなかったのかを書いてみてください。

まっちゃ

5行目の、n≧3のあとの式が、何でそう言えるのかわからないという感じです。説明不足ですいませんでした🙇🏻‍♀️

ブドウくん

二項定理でn乗をnC0からnCnまで展開した式が(1)模範解答の1行目から3行目です。この式を（✳）とすると、今示したいことは（✳）の右辺が2よりも大きくなることです。
一方で（✳）の左辺の前から2項
nC0 + nC1×1/n
を計算すると
1+ n ×1/n
=1+1
=2
となります。
したがって、✳の左辺のうち、前2項が2なので、それよりも後ろの項（nC2からnCnまで）が0よりも大きければ、2+0よりも大きいものになって、右辺が2より大きいことが示せます。
前2項を除く部分（n≧3のとき）が正になることは、コンビネーションの計算は常に正ですし、1/nは何乗しても0よりは大きいので（だんだん0には近づくけど0にはならない）正の数×正の数を足し合わせているものとなることから、明らかです。
これで伝わりましたでしょうか？何かわからないことありましたらご質問ください。

ブドウくん

右辺と左辺が完全に逆で書いてしまっています。混乱させてしまいすみません。

まっちゃ

回答ありがとうございます！！わかりました🙇🏻‍♀️