Question

公立

(2)がわかりません解説お願いします！

nを正の整数とする。実数 x, y, z に対する方程式
x"+ y" +z" = xyz …()
を考える。
(1) n=1のとき, ①を満たす正の整数の組(x, y, 2)で, x<ySz となるものをすべ
て求めよ。
(2) n=3のとき, ①を満たす正の実数の組(x, y, 2)は存在しないことを示せ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

x³ + y³ + z³ = xyz ②

②は対称性があるので 0＜x≦y≦z としても一般性を失わない。

x³ + y³ + z³ = xyz ≦ z³　より

　x³ + y³ ≦ 0

ここで x＞0,y＞0 なので x³ + y³ ≦ 0 となることは無い。

よって ②が成立しない。

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または別解

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) なので

x³ + y³ + z³ - xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) + 2xyz

ここで

x + y + z > 0

x² + y² + z² - xy - yz - zx = {(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²} / 2 ≧ 0

2xyz ＞ 0 なので

x³ + y³ + z³ - xyz ＞ 0 であり

　必ず x³ + y³ + z³ ＞ xyz となるので　x³ + y³ + z³ = xyz　となる x,y,z は存在しない。

公立

お見事です。質問の意図としては別解以外の解き方を知りたかったからです。私は別解の方で解きました。ちなみに相加相乗平均でも解けると聞いたことがありますが暇だったら教えてください。コラム程度で構いません何せ新高1なので。

としさん

相加相乗平均でやるとすると

　(x³ + y³ + z³) / 3 ≧ (x³y³z³)^(1/3) なので

　x³ + y³ + z³ ≧ 3xyz

　3xyz ＞ xyz なので x³ + y³ + z³ ＞ xyz ということでしょうか。

これは、思いつきませんでした。

公立

それでした