Question

IK

この問題の(1)についてです
なぜ整数になる事が必要十分条件なのですか？

87 次の各問いに答えよ。 ただし, 正の整数 n と整数k (0Sk<n) に対して, , C。は正の整数である
事実を使ってよい。
(1) mが2以上の整数のとき, mC, が m で割り切れるための必要十分条件を求めよ。(10点)
(2) pを2以上の素数とし, kをpより小さい正の整数とする。このとき, ,Chはかで割り切れるこ
とを示せ。(20点)
(早稲田大)
(3) pを2以上の素数とする。 このとき, 任意の正の整数 n に対し,(n+1)Pーn*-1はpで割り切
れることを示せ。 (20点)
m(m-1)
(1) mc2-
m/asma@u,たとき M-l
トイ Y

解答
m(m-1)
= m
2
m-1
55 (1)
2
よって, C2 がm で割り切れるための必要十分条件は,
m-1
が整
2
数になること,すなわち mが奇数になることである。
(2) C=
p!
k!(p-b!
p(カ-1)!
ターICy-1
, C=Pp-iC-1
ゆえに,,C。はpで割り切れる。
また,かは素数であり 1<kくかであるから, kとかは互いに素。
したがって,,C。はかで割り切れる。
よって
(3) 二項定理から
(+1)*=n*+,C,na1+, Cn -2+
(+1)-n-1=,C;nb-1+,Cgab-2+…
pは素数であるから, (2) より, ,CiCa .,Cpカー1はかで割り切
れる。したがって, (n+1) ーn-1はpで割り切れる。
+,C-7+1
よって

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

piss

mC2がmで割り切れると仮定するとmC2/m=(m-1)/2は整数です。したがって(m-1)/2が整数であることが必要です。逆に(m-1)/2が整数ならmC2=m•整数となるわけですからmC2はmで割り切れます。したがって(m-1)/2が整数であれば十分です。

IK

例えば、分数ではダメなのですか？

piss

十分性が成り立つかという質問でしょうか？
ではある(m-1)/2が整数でない有理数であると仮定します。するとmC2/m =(m-1)/2となるのでmC2/mは整数ではありません。つまりmC2はmでは割り切れません。(割り切れるということはmC2/mが整数であるということ)
したがって「(m-1)/2が整数でない有理数」では十分性は成り立ちません。

IK

商が小数では割り切れるとはいえないという事ですか？

piss

分数、小数等言い方を統一したほうがいいと思います。3/1も分数ですがこれは整数になっていてこの場合は想定していないですよね？
このことは置いておいて質問に答えると(m-1)/2が整数でない有理数であるときmC2はmで割り切れないという事です。
これがIKさんの意図している質問の回答でしょうか？

IK

例えば6÷2だと商は整数で、余り0になり、
でも3÷2だと商は小数になってしまいます、(商が整数の時では割り算が終了しない(余り0じゃない))

商が整数⇔割り切れる　ってことは
商が整数で割り算が終了する(割り切れる)ってことだから、
割り切れるということはmC2/mが整数であるということ
という事ですか？

piss

そうですね。小中を通して得たその考察から高校ではnがmで割り切れるの定義をn=mkとなる整数が存在することとしています。

IK

分かりました！
ありがとうございました！