Question

まるごとソーセージ

なぜ y^（k+1）が（y^k）'になるんですか?
緑線の部分です

3 高次導関数
2
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例題 166
第n次導関数(1)
関数 y=logx の第n次導関数を求めよ
考え方 y,y", y", を順次計算して, まず第n次導
関数を推定する. 推定した導関数を数学的帰納
法で証明する。
微分 微分 微分
解答
y=logx
y=x-1
|y"=(-1)·1·x-2
y"=(-1)-12x-3
|y)=(-1)"·1-2-3x
■との部分を分けて推
y=
x
1
=x1
y"=(y)'3(x-')'=-x-2
y"=(y")'= (-x^)%3 (-1)·(-2)x-3=2x-3
yの3 (y")%3(2x-)=2(-3)x-*=-6x-4
となり,第n次導関数は、
y)=(-1)"-(n-1 0
と推定できるので, これを数学的帰納法で証明する。
(I) n=1 のとき,
する。
A
=(n-1)-(n-2)… 3·2-
符号は+と一をくり返す。
y)=y=(-1)'!(1-1)!x-!
0!=1
=1·1·x-1=x-1
より,①は成り立つ。
(I) n=k のとき, ①が成り立つと仮定すると,
n=k+1 のとき,
が成り立つことを示す。
2より,
ylk+1)-(y())(-1)*-1(k-1)!x-})
=-kx-k-1
となり,n=k+1 のときも①は成り立つ。
よって,(I), (I)より, すべての自然数nに対して
①は成り立ち,
k(k-1)!=k!
注》(数学的帰納法)
自然数nについての命題 P(n) がすべての自然数nについて成り立つことを示
(I) n=1のとき, P(1) が成り立つことを示す。
(I) n=k のとき, P(k) が成り立つことを仮定し、,
n=k+1 のとき, P(k+1) が成り立つことを, P(k) が成り立つことを利
す。
練習
関数 y=xe* の第n次導関数を求めよ。 咲200
166

数学3 微分法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

げすと

それが第n次導関数だからです。
(k)と(k+1)は指数ではなく、何回目の微分かを示しています。

まるごとソーセージ

ありがとうございました!