Question

𖦹 ̫ 𖦹

0より大きい事を証明する過程で、どこまで式変形をするのかが分かりません。
2(k－1)²＋2までする理由を教えてください(* . .))

137 不等式の証明
593
基本例題
|3以上のすべての自然数nについて、 次の不等式が成り立つことを証明せよ。
3"-1>n°-n+2
D.590 基本事項
計>「neO」であるすべての自然数 nについて成り立つことを示すには, 出発点を変えた数
学的帰納法を利用するとよい。
[1] n=●のときを証明。
12l n=k(k2@)のときを仮定し, n=k+1のときを証明。
は、n23のとき, という条件であるから, まず, n=3のとき不等式が成り立つこと
証明する。なお, n=k+1のとき示すべき不等式は 3*>(k+1)- (k+1)+2 HO
一出発点
O 大小比較 差を作る
A>Bの証明は差A-B>0 を示す
3章
1 nの出発点に注意
k+1の場合に注意して変形
CHART 数学的帰納法
解答
] n=3のとき
よって, ① は成り立つ。
121 n=k(k23)のとき, ① が成り立つと仮定すると
3k-1>kーk+2 …
(左辺)=3°=9, (右辺)%3D3-3+2=8
4出発点は n=3
(左辺)>(右辺)
k23を忘れずに。
の
n=k+1のとき, ① の両辺の差を考えると, ② から
3*-((k+1)°-(k+1)+2}=3·34-1_(R+k+2)
>3(R-k+2)-(k?+k+2)
=2k?-4k+4=2(k-1)°+2>0
42を利用できる形を作り
出す。
4基本形を導くことにより,
(左辺)-(右辺)>0が示さ
れる。 +
ゆえに
よって,n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, n>3であるすべての自然数nについて①は成
り立つ。
検討 3"1とがーn+2の大小関係
関数 y=3*-1, y=x°ーx+2のグラフは右図のようになる。
2つのグラフの上下関係から
3"-1>n-n+2 (n23)
が成り立つことがわかる。
(指数関数のグラフについては, 数学IIを参照。)
「別アプ
=ーx+2
ローチ
の
交点
2
y=3-1
7
4
3
X
7数学的帰納法

n=k+1のとき,① の両辺の差を考えると, ② から
3*-((k+1)°-(k+1)+2}=3·3*-!_(だ*+k+2)
>3(?-k+2)-(?+k+2)
=2k°-4k+4=2(k-1)+2>0
ゆえに
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
1, [2] から, nw3であるすべての自然数nについて① は成
の立つ。
を用いると。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

aporon

2k²-4k+4ではkの値を代入して、正負を判断するしかありませんね
しかし、2(k-1)²+2と変形することで、( )²+正　の形なので、kの値がなんであろうと、0以上であることは明白ですね

𖦹 ̫ 𖦹

理解しました！！ありがとうございます。