Question

ぱぱ

この問題なんですが、この図形はZ軸周りをどのように回転しているんでしょうか？
そのイメージがなかなかできなくて、なぜ0から1/2と、1/2と1でtを場合分けするのかわからないです…

お願いします！

例題 22-
xyz 空間内の3点 A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 1, 1) を頂点とする三
角形の周および内部を, z軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求
めよ。
(類名古屋大)
考え方 回転軸から最も遠い点および近い点までの距離は?
【解答1】
平面z=t (0Sts1) と,
2人
x
線分 AC:|y
(0MSS1)
1-t.
1-t
三
P(0, 0, t)
との交点は, Q(1-t, t, t).
*線分 BC:y=1, x=0 との交点は,
it
y
よって,三角形 ABC の平面 z=t による
[0St<1 のとき, 線分QR,
t%3D1 のとき, 点C(0, 1, 1)
である。これを2軸のまわりに1回転してできる図形
切り口は,
1R
Q(1-t, t, t)
t
の面積 S(t) は,
(05)
(sts)
2
T·12-元
2
2'
0
1-t
S(t)=
T*12-x(f+(1-)9= (24-2f"). (sts1) (P)|
よって,求める立体の体積 / は,
面
Ssoa=fga+fx(21-21)dt
V=
2
3
5元
12°
(答)
ニ
三
4
2

積分法 体積

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

prpr555

線分RQの通過領域(赤円と青円の間)を考えればいいのですが、ポイントは
Z軸からの距離の最短点と最遠点に着目することです。
図のように、QがABの中点よりもA側の時は最短点は常にABの中点ですが
QがABの中点よりもB側に来ると、最短点は点Qになります。
つまりtの値により線分ABの通過領域は変化します。
なので面積を表す式が違ってくるので場合分けが必要です。

ぱぱ

なるほど！
つまり回転体っていうのは、すべて回転の先頭に立つ直線のすべての点がz軸を周りを回った時の軌跡の集合の和という考え方で、最も遠い点と近い点の作る軌跡の円の差がそのzでの面積になっているという感じで大丈夫でしょうか？

prpr555

おそらくそれでいいと思います。

ぱぱ

良かったです！
ありがとうございました