Question

華恋〔かれん〕

2点A(6,0),B(3,3)と円x^2+y^2=9上を動く点Qを3つの頂点とする三角形の重心Pの軌跡求めよ

分からないので
教えてください🙏💦💦

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

零

点Qの座標を実数s,tを用いてQ(s,t)とおくと、
Qは円x²+y²=9上の点だから、実数s,tは
s²+t²=9
を満たす。
また、重心Gの座標をG(x,y)とおくと、
重心の定義より
x=(6+3+s)/3, y=(0+3+t)/3
であり、s,tについて解くと、
s=3x-9, t=3y-3
となる。
s²+t²=9
に代入して整理すると、
(x-3)²+(y-1)²=1
が得られる。
以上のことをまとめて式で表すと、
{s²+t²=9, x=(6+3+s)/3, y=(0+3+t)/3
⇔{s²+t²=9, s=3x-9, t=3y-3
⇔{(3x-9)²+(3y-3)²=9, s=3x-9, t=3y-3
⇔{(x-3)²+(y-1)²=1, s=3x-9, t=3y-3
これは、言葉で表すと、
Gが△ABQの重心であるとき
Qが円x²+y²=9上の点⇔Gが円(x-3)²+(y-1)²=1上の点
ということであるから、
Qが円x²+y²=9上を動くときのGの軌跡は、中心(3,1)で半径が1の円であるといえる。

華恋〔かれん〕

いつも詳しく解説ありがとうございます！🤩💞
この場合は逆も成り立ちますか？

零

この場合の逆は
△ABQの重心Gが円(x-3)²+(y-1)²=1上を動くとき、点Qは円x²+y²=9上を動く
ということになります。
確認のやり方はさっきとほぼ同様で、
G(u,v)とおき、Q(x,y)とおくと、
{(u-3)²+(v-1)²=1, u=(6+3+x)/3, v=(0+3+y)/3
⇒{(u-3)²+(v-1)²=1, u=x/3+3, v=y/3+1
⇒{(x/3+3-3)²+(y/3+1-1)²=1, u=x/3+3, v=y/3+1
⇒{x²/9+y²/9=1, u=x/3+3, v=y/3+1
⇒{x²+y²=9, u=x/3+3, v=y/3+1
となり、確かにQが円x²+y²=9上にあることがわかります。

華恋〔かれん〕

なるほどです！！ありがとうございます！
拓👓さんの返答いつも丁寧で
本当にいつもありがたいです！🥺✨
教えて頂いたぶんしっかりと身につけます！

零

そういってもらえると嬉しいです。丁寧に書いたかいがありますね。華恋さんも勉強頑張ってください！