Question

かえ

2.3.なぜこのような真偽になるのかを教えてください😢

答えは
2命題は真、否定は偽
3命題は真、否定は偽 です

3の命題は、例えば無理数の組（√3、√5）だとして
√3×√5は√15で無理数になるのになぜ真になるんですか？

309.次の命題の否定を述べよ。また,もとの命題とその否定の真偽を調べよ。
*(1) ある実数xについて, <0 である。
*@ すべての実数xについて, x°+x=x(x+1)である。
(④ ある無理数の組(a, b) について, aとbの積 abは有理数である。
→ 例題 44

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師 「たおたん先生」

(3)のあなたの質問からまずお答えすると(3)の元の命題は「【すべての】無理数の組」ではなく「【ある】無理数の組」となっているのがポイントです。
【すべての】となっていたら、そうならない反例を１つでも見つけたら「偽」になります。あなたの見つけた√3と√5の組も積が無理数なので十分反例となります。
しかし、今回は【すべての】ではなく【ある】なので「無理数どうしの積は全部、有理数になるよ」って意見じゃないんです。「無理数どうしの積の中には、有理数になる【ある】無理数の組があるよ」って意見です。
例えば√3と√3の組がそうですね。

かえ

とても分かりやすくありがとうございます！！＜(_ _)＞

出来れば2.も教えて頂きたいです🙏🙏

塾講師 「たおたん先生」

(2)の元の命題が真になるのは納得できるでしょうか？

かえ

すみません💧出来ないです

塾講師 「たおたん先生」

(2)の元の命題は「すべての実数xについてx^2+x=x(x+1)である」という内容ですが、x^2+xを共通因数xでくくるとx(x+1)に因数分解できるのは分かりますか？
つまりx^2+x=x(x+1)はxの値に関係なくいつでも成り立つ式変形です。「x＝1の時はx^2+xとx(x+1)の値が一緒になるけど、x=2の時はx^2+xとx(x+1)の値が一緒にならない」みたいなことは起きません。
どんなxに対してもx^2+x=x(x+1)です。
よって(2)の元の命題は真です。

Answer 2

杏

この⑵⑶のような、「全ての実数」や「a,bの組み合わせ」などは、数の範囲が広すぎて真を証明するのはなかなか難しいので、自分で反例(成り立たない時の例)をひとつ見つけて、偽だということを証明し、もう片方が真だ、と解くやり方が1番早いのかなと思います。
自分なりのポイントですが、言い換えるときに、「必ず」という言葉を付け加えるのがポイントです。

Answer 3

杏

命題の否定を裏と言うのですが、命題と裏は、片方が真ならもう片方が偽という関係に必ずなります。
真偽の証明の時は、「必ずそうなる」かどうかを考えるのがわかりやすいです。
⑵は裏が真か偽かを証明します。xがどんな値であっても、x^2+x=x(x+1)は必ず成立しないと言い換えます。例としてですが、2を代入するとこの式はきちんと成り立ってしまいます。裏が偽であると証明できたので、もとの命題は真になります。
⑶も裏が真か偽かを証明します。ある無理数の組(a,b)について、aとbの積abは必ず無理数になると言い換えます。aとbがどちらも√2の場合は、abが2で有理数なので、裏が偽だと証明できました。よって、もとの命題が真だと分かります。

かえ

ありがとうございます！
でも、310の（3）を見ると、命題も裏も真になる場合もありませんか？